Bonsoir
Il faut que leur décomposition en facteurs premiers soit identique

Bonjour

essayez les couples  (1,1)  (2,8)  (4,8)

Leur décomposition en facteur premier soit identiques ? Pourriez vous m'aiguiller un peu plus svp ? J'ai essayé d'écrire a et b comme un produit de nombres premiers mais à part transformer le produit en somme en passant pas le log neperien j'arrive à rien

Vham, les couples que vous m'avez proposés marchent mais comment prouver que ce sont les seuls ?

Bonjour, je suis au lycée mais me permet de poster ici car cet exercice est d'un niveau un peu élevé et que je n'ai pas eu de réponses sur le forum lycée.

Je dois résoudre l'équation suivante dans NxN :

a^(3b) = b^(4a)

En m'inspirant de la recherche des solutions non triviales de a^b = b^a j'ai posé f : x —> ln(x)/x et j'arrive finalement à (4/3) * f(a) = f(b)

Je n'arrive malheureusement pas à aller plus loin, si vous auriez des pistes ou des éléments de correction je suis preneur.

Merci d'avance.

*** message déplacé ***

multipost : Équation à deux inconnues dans N^2

*** message déplacé ***

Salimovich, impossible que tu n'aies pas vu cela

extrait de la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Pour de nombreuses raisons.

Pour mémoire, le multi-post consiste à reposer une même question dans un sujet différent , ou à poser des questions successives d'un même problème dans des sujets différents.

De même, une demande identique sur plusieurs sites sera considérée comme un multipost et la discussion pourra être fermée par un modérateur.

Etant donné tous les désagréments créés par le multi-post, le non-respect de cette règle entraînera votre exclusion temporaire ou définitive du forum !

Voici maintenant quelques raisons qui font que nous combattons avec autant d'ardeur le multi-post (et ses adeptes ) :

• La perte de temps pour les modérateurs qui consacrent leur temps bénévolement pour garantir la qualité des sujets et des échanges sur le forum.
• Le respect du travail des correcteurs qui consacrent leur temps bénévolement pour aider ceux qui sollicitent de l'aide.
• La lisibilité du forum de manière à ce qu'un sujet ayant déjà reçu de l'aide soit facilement identifié et qu'un sujet n'en ayant pas encore reçu puisse à son tour en recevoir.

Rappelez-vous une nouvelle fois la règle d'or du forum :
1 sujet créé = 1 problème

salut



le premier membre est donc un carré ... et même une puissance 4
le second membre est donc un cube ...

est donc une fraction rationnelle

or ln x est un entier <=> x est une puissance de e ... donc :

si b est une puissance rationnelle de a alors le quotient est rationnel

posons b = a^r avec r rationnel  

bof ...


essayons de voir ce qui se passe lorsque b est une puissance de a :

bof ...



soit la fonction sur [0, +oo[ et b entier naturel ...

traiter le cas b = 1 ... sinon

le premier terme est une fonction puissance et le deuxième terme est une fonction exponentielle

leur comportement à l'infini (et même "pas très loin") montre qu'il n'y aura des solutions que pour des petites valeurs de a et b

...

Bonjour,
Une idée non aboutie. Sait-on jamais, si elle pouvait faire avancer le schmilblick...

Éliminer d'abord les valeurs 0 et 1 pour les entiers naturels a et b :
Avec 0 pour a ou b , pas de solution.
Avec 1 pour a ou b , la solution (1,1).

Puis supposer a 2 et b 2 .
a^3b = b^3a 3 (ln a) / a = 4 (ln b) / b
D'où (ln a) / a > (ln b) / b .

La fonction x (ln x ) / x est décroissante sur [e;+[.
Donc a < b ou au moins un des deux entiers a et b est égal à 2 .

j'avais déjà résolu un tel exercice par le passé très précisément en allant jusqu'au bout ... mais je ne le retrouve plus dans mes msg !!!

Nous patienterons !
Pour l'avenir, quand Tom_Pascal nous aura remis une recherche avancée performante, nous pourrons retrouver nos anciens sujets en un tournemain

bonjour,

>>Carpediem
ce n'était pas tout à fait le même  c'était simplement a^b=b^a

Il y en a eu quelques autres : L' équation x^y=y^x et d'autres. . .

oui nous avons quelques interventions (parfois kabbalistiques de interpol alias alainpaul ...) mais je n'y suis pas ...

oui veleda mais je me souviens d'avoir fait un truc intéressant qui pourrait très certainement ou du moins fort probablement s'appliquer ici ou peut-être s'en inspirer fortement ...

J'ai tenté d'utiliser la même approche :

t = (ln b) / (ln a) donne b = a^t .

Puis a = (4t/3)^1/(t-1) et b = (4t/3)^t/t-1 .

Reste à trouver les t pour a et b entiers...

Les solutions données par vham correspondent à t = 3 et t = 3/2 .

Bonne nuit,

La solution vient certainement de la présentation de carpediem du 28-11-18 à 13:37

Citation :

Bonjour,

Peut-être une solution mais laborieuse:

   donne la solution

qui a pour seule solution en entiers naturels (à vérifier éventuellement avec une étude de fonction) et donc la solution

qui n'a pas de solution en entiers naturels (toujours à vérifier...).

On suppose donc maintenant (voir Sylvieg à 13h35).

   (avec l'équation de départ).

    et avec et

  L'équation devient:

     avec strictement.

   et étant premiers entre eux, on a

  d'où

   avec

     est à éliminer.

   donne et le couple déjà vu.

              si on peut vérifier que (étude de fonction par exemple).

   donne qui n'a pas de solution entière.

   donne et donc le couple
         On peut vérifier que pour

Si :

     pour (toujours avec une étude de fonction).

Bref, il n'y aurait que les trois solutions de vham:

  On peut sûrement améliorer...

Une erreur:

  

Citation :
L'équation devient:

     avec strictement.

Bonjour,
Je suis en déplacement depuis quelques jours ; donc pas trop le temps de regarder en détail.
J'avais essayé aussi d'utiliser le PGCD de a et b , sans aboutir.
Faire apparaître d^3b-4a avec son exposant positif, et en déduire a' = 1 est l'idée qui permet d'avancer

Une petite amélioration :
Une fois trouvé a' = 1 , on en déduit a = d .
Or a>2 a été supposé ; donc d>2 .
Inutile de regarder d = 1 ou d = 2

Une première vérification (facile) pour « Pas de solution avec b = 2 » :
Si b = 2 alors a⁶ = 2^4a ; donc a est une puissance de 2 : a = 2^p .
2^6p = 2^4a ; donc 6p = 42^p . Impossible.

Une autre pour « a = 2 b = 8 » :
Si a = 2 alors 2^3b = b⁸ ; donc b est une puissance de 2 : b = 2^p .
2^3b = 2^8p ; donc 32^p = 8p . D'où p 3 et p = 32^p-3 .
En posant k = p-3 , on a 32^k = k+3 .
Pour k 1 on peut démontrer par récurrence a 32k > k+3 .
Pour k = 0 , on trouve b = 8 .

la croissance comparée des fonctions exponentielles et affines suffit à conclure ...

d'autant plus qu'on a égalité pour k = 0

Bonjour carpediem,
Qu'entends-tu par "croissance comparée" ?
Je connais pour les limites ; pour des inégalités, j'ai sans doute oublié.

pour a et b fixés la croissance comparée des fonctions puissance   (ou polynome plus généralement) et exponentielle

b <> 1 bien sur et même b > 1

ce qui est le cas de

Sylvieg @ 01-12-2018 à 16:11

En posant  k = p-3 , on a   32 ^k = k+3 .  ce qui est le cas ici ... en remplaçant k par x

Bonjour,
Voici l'état de mes réflexions sur le sujet après une cure (peut-être utile de temps à autres ?) de quelques jours sans Internet.

Sur la réponse de carpediem
« la fonction puissance croit évidemment extrêmement plus vite que la fonction puissance (affine) » : Je pense qu'il faut lire "fonction exponentielle" au début ; et ce n'est pas très précis.
Ça ne dit pas à partir de quand b^x > x^a .

Sur l'exercice, je reprends la démonstration de lake à partir de d^3b'-4 = (b')⁴ qui vient de a'= 1 .
d 3 et b' 2 car b' > a'.
On cherche donc d et n entiers avec d^3n-4 = n⁴ , d 3 et n 2 .

Or d^3n-4 > n⁴ est toujours vrai pour n = 3 et d 3 :
d⁵ 3d⁴ > d⁴ 3⁴
Soit par croissance comparée, soit par récurrence (je préfère ), d^3n-4 > n⁴ reste vraie pour n 3 .
Donc d^3n-4 n⁴ pour n 3
Reste à regarder n = 2 : d^3n-4 = n⁴ s'écrit d² = 2⁴ équivalent à d=4 .
C'est donc le seul cas d'égalité.
Ce cas correspond à d = 4 et b' = 2. Ce qui donne a = 4 et b = 8 .

oui bien sur c'est exponentielle ...

oui ça ne dit pas quand précisément ... mais le quand est tout de même quasi immédiat

ici tu as   et  

donc f(0)= g(0) = 3

g'(x) = 1 et donc f'(x) > 1 donc f(x) > g(x) ...

Bonjour,
Pour illustrer mon "ça ne dit pas à partir de quand", je présente une variante de la démonstration de
« a = 2 b = 8 » .

Si a^3b = b^4a et a = 2 alors 8^b = b⁸ .

Avec b= 1 8^b = 8 et b⁸ = 1 . 8^b > b⁸ .
Avec b = 2 8^b = 2⁶ et b⁸ = 2⁸ . De b =2 à b = 7 on a 8^b < b⁸ .
Pour b = 8 on a enfin 8^b = b⁸ .

Ensuite, par sa méthode préférée (croissance comparée ou récurrence), on a à nouveau 8^b > b⁸ .

bien sur mais dans ton autre cas (voir à 10h36) ça marche dès le début ...

il est évident que quand on regarde x^y et y^x alors il faut dépasser min (x, y) ... au moins ...

mais si on regarde P(x) et a^x alors ça vient "très vite" ...