Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques ExpressoPour discuter de tout et de rien... AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Forum Expresso
Partager :

Équation avec l'inconnue dans des exposants

Posté par
olange 12-10-19 à 17:16

Bonjour,

Soit :

\large x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x

Dans la correction de cette équation, il est marqué dès le début :

Deux racines évidentes : 0 et 1.

Ma question est : POURQUOI ? Merci

* Sylvieg > La même équation dupliquée avec moins de réponses : Équation

Posté par
flightre : Équation 12-10-19 à 17:37

salut

parce qu'il suffit de remplacer ces valeurs dans l'équation , ..

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 18:03

salut

une troisième solution évidente est 4 ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 18:05

Bonjour,
Pour \; 0 , je me pose des questions. Pas vous ?

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 18:10

elle est discutable ... mais :

x^{\sqrt x} = \sqrt x^x \iff \sqrt x^{2\sqrt x} = \sqrt x ^x

(et qui ne donne pas la solution évidente 1) ...

Posté par
Pirhore : Équation 12-10-19 à 18:12

Bonjour,

Sylvieg moi je dirais que 00  n'est pas défini

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 18:14

il suffit de prolonger par continuité ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 18:18

@Pirho,
Moi aussi \;

@carpediem,
Mais si elle donne la solution \; 1 .
ay = az \; n'est pas équivalent à \; y=z .

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 18:30

bien sur on a directement la solution 1 mais :

x^{\sqrt x} = \sqrt x^x \iff \sqrt x^{2\sqrt x} = \sqrt x ^x => 2 \sqrt x = x \iff \sqrt x(\sqrt x - 2) = 0 et la solution 1 n'apparait pas dans cette équation

et je ne suis pas d'accord : la fonction x \mapsto a^x est bijective (a > 0 bien sur) donc a^x = a^y \iff x = y

ce me semble-t-il ...

je conviens bien que je fais peut-être une faute de raisonnement ... mais je ne vois pas où

PS : en passant avec les logarithme on a bien aussi (mais cette fois avec x > 0) :

x^{\sqrt x} = \sqrt x^x \iff \sqrt x \ln x = x \ln \sqrt x \iff \ln x \sqrt x (\sqrt x - 2) = 0

ha ben voila mon cheminement est incorrect ...

damned !!!

le cheminement sans logarithme oublie la solution 1 mais "autorise" la réponse 0
le cheminement avec logarithme donne la solution 1 mais interdit la valeur 0 ...

mais où va-ton ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 18:35

L'erreur est là :
la fonction x \mapsto a^x est bijective (a > 0 bien sur)

Posté par
olangere : Équation 12-10-19 à 19:12

Je ne comprends pas pourquoi mon prof nous donne des équations aussi compliquées en L1 sachant que même vous n'êtes pas d'accord sur les réponses...

Posté par
Kernelpanicre : Équation 12-10-19 à 19:23

C'est justement pour ça qu'il donne ces équations, pour discuter des solutions ! Ça forge

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 19:27

Sylvieg @ 12-10-2019 à 18:35

L'erreur est là :
la fonction x \mapsto a^x est bijective (a > 0 bien sur)
pas d'accord

même si effectivement il faut préciser les ensembles de départ et d'arrivée :

avec a > 0 la fonction x \mapsto a^x est bijective de R sur ]0, +oo[

mais ça ne change strictement rien à ce que j'ai dit dans le cas présent !!!

là où est mon erreur c'est que la base de mon exponentielle n'est pas constante : ce n'est pas un a mais la variable elle-même ...

olange @ 12-10-2019 à 19:12

Je ne comprends pas pourquoi mon prof nous donne des équations aussi compliquées en L1 sachant que même vous n'êtes pas d'accord sur les réponses...
pas d'accord !!

nous sommes tous d'accord avec nous-même (au moins) ...

sauf moi qui ne suis pas d'accord avec moi même puisque j'ai réfuté mon raisonnement !!!

Posté par
jsvdbre : Équation 12-10-19 à 19:31

Kernelpanic @ 12-10-2019 à 19:23

C'est justement pour ça qu'il donne ces équations, pour discuter des solutions ! Ça forge

Et ô combien une discussion peut être riche quand il s'agit de fonction de type x^y; Sylvieg en sait quelque chose ... tellement qu'elle m'a privé de dessert sur son fil qu'elle y a consécré

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 19:33

Mais si, nous sommes d'accord \;
D'ailleurs, c'est du niveau terminale.
Si tu veux une équation compliquée, va voir celle-ci : Une petite équation \;

Pour la tienne : le réel 0 n'est pas solution car 00 n'est pas défini.
Donc \; x>0 \; et tu peux passer aux logarithmes.
L'équation que tu obtiens alors peut se factoriser par \; ln(x) .
Vas-y, fais le.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 19:34

@jsvdb,
consécré ou consucré pour le dessert ?

Posté par
jsvdbre : Équation 12-10-19 à 19:38

rhoooo ! t'éxagères ! tu pourrais rentrer discrètement dans mon post pour corriger ... maintenant que tu es auréolée ...
Bon après, tu me diras que s'il faut rentrer dans tous les post pour corriger les fautes de frappe, alors auberonge !

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 20:22

pour tout x > 0 posons y = x^x

alors \ln y = x \ln x \underset{x \to 0} {\to} 0 donc on pose 0^0 = 1

et tout est ok

mais dire que 0 est une solution évidente  alors là je suis d'accord avec

Sylvieg @ 12-10-2019 à 18:05

Pour \; 0 , je me pose des questions. Pas vous ?

Posté par
jsvdbre : Équation 12-10-19 à 20:40

On peut avoir une autre vision :

par définition, 0 est \emptyset et donc 0^0 = \emptyset^\emptyset est l'ensemble des applications \emptyset \rightarrow \emptyset.
On a donc #00 = 1.
On peut donc poser 00 = 1 sans faire appel  à des notions bien compliquées.

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 21:03

0 $ et $ \O me semble être deux objets différents ...

je sais "faire" 0 + 0
je ne sais pas faire \O + \O

Posté par
lafol Moderateurre : Équation 12-10-19 à 21:18

Bonjour
je m'interroge sur la bijectivité de l'application x\mapsto 1^x définie sur IR et à valeurs dans IR +*, moi, pas vous ? (pas carpi, en tous cas, ce me semble-t-il, s'il me permet cet emprunt)

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 21:33

ouais bon je l'ai oublié celui-la !!! désolé !!! (mais bon c'est le cas dégénéré bien sur des suites géométriques)

mais alors avec des intérêts !!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 12-10-19 à 21:46

Bonsoir lafol
Ce message là m'avait échappé :

Citation :
avec a > 0 la fonction x \mapsto a^x est bijective de R sur ]0, +oo[
Je croyais pourtant avoir bien mis le doigt dessus.
Mais il y en a qui insiste dans leur erreur...

Bon, et si on laissait olange continuer tranquillement ?
Je répète :
Citation :
le réel 0 n'est pas solution car 00 n'est pas défini.
Donc \; x>0 \; et tu peux passer aux logarithmes.
L'équation que tu obtiens alors peut se factoriser par \; ln(x) .
Vas-y, fais le.

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 22:11

Sylvieg @ 12-10-2019 à 21:46

Je croyais pourtant avoir bien mis le doigt dessus.
Mais il y en a qui insiste dans leur erreur...
franchement !!!

il me semble évident que c'est le simple oubli d'une trivialité ... et je ne voyais pas où tu voulais en venir en l'occurrence ...

je remercie d'ailleurs lafol ...

Posté par
lefou666re : Équation 12-10-19 à 22:17

Bonsoir,

jsvdb @ 12-10-2019 à 20:40

On peut avoir une autre vision :

par définition, 0 est \emptyset

?????????
Y a que moi que ça choque ce message ?

Posté par
carpediemre : Équation 12-10-19 à 22:22

carpediem @ 12-10-2019 à 21:03

0 $ et $ \O me semble être deux objets différents ...

je sais "faire" 0 + 0
je ne sais pas faire \O + \O

Posté par
jsvdbre : Équation 12-10-19 à 22:44

Pour ceux que ça a choqué que 0 soit \O, c'est que vous avez probablement oublié (ou pas appris) la notion de cardinal. Mais ça n'a pas d'importance, on s'en fout.
En tout cas, l'objet 00 est bel et bien défini et vaut 1 bien antérieurement à l'existence de l'exponentielle et à toute notion de prolongement par continuité.
Donc l'équation  x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x a pour racine évidente 0 dans ce cadre là.
------------------------------------------

Maintenant, on sait tous que les fonctions dont les termes généraux sont \blue (\sqrt x)^x  et \blue x^{\sqrt x} ne sont définies à priori que sur \R_+^*.
Et là, pas de chipotage à base de x < 0 avec rationalité, parité et tout le merdier car la racine met tout le monde d'accord.

Donc résoudre (\sqrt x)^x=x^{\sqrt x} ne peut, à priori être fait que sur \R_+^*.

On sait tous fort bien que la seule façon de résoudre ça est de passer par la définition x^y = \exp(y\ln(x)),~x>0 car cette fonction est un prolongement de celle définie sur \N^* \times \N} par (n,m)\mapsto n^m
Et on trouve 1 et 4 comme solution.

Après, si on souhaite prolonger les deux fonctions bleu en 0 par 1, on peut, ce qui amène une troisième solution.
Mais on peut aussi prolonger les deux fonctions en bleu sur \R_ par 1, ce qui amène un tripotée d'autres solutions.

Là où je voulais en venir : on a encore une fois on a un énoncé mal posé.

A moins que ce soit

Kernelpanic @ 12-10-2019 à 19:23

justement pour ça qu'il donne ces équations, pour discuter des solutions ! Ça forge

Alors discutons et forgeons ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation 13-10-19 à 09:29

Bonjour,
Merci jsvdb pour tes explications \;
Assez convaincantes pour ébranler mes certitudes... et trouver ces liens qui peuvent intéresser d'autres sceptiques : \; \;

@carpediem,

Citation :
la fonction x \mapsto a^x est bijective (a > 0 bien sur)
Citation :
il me semble évident que c'est le simple oubli d'une trivialité
Un "simple oubli" qui conduit à un ensemble faux des solutions, c'est quand même embêtant.
Si, dans le type d'équation à l'origine du sujet, un élève de terminale oublie le cas \; ln(x) nul , il se fait taper sur les doigts...

@olange,
Si toutes ces discussions t'embrouillent trop, je peux dupliquer ton premier message et certaines réponses.
Dis-moi si ça te semble judicieux \;

Posté par
carpediemre : Équation 13-10-19 à 09:57

ben non !!!

puisque je ne suis pas parti avec le chemin des ln mais avec la simple idée que tout nombre positif est le carré de sa racine carrée !!

il est évident qu'ensuite (et d'ailleurs c'est ce que j'ai fait en pointant le pb) qu'on peut vérifier en revenant à une résolution classique et la définition d'une exponentiation ... qui exclut 0

quant à l'oubli il ne concerne pas ce pb mais le pb de la bijectivité de la fonction exponentielle de base a avec trivialement a <> 1 ... ce qui n'a rien à voir ... (et que je n'avais pas pris ce chemin)

donc je répète : la fonction a \mapsto a^x est bijective pour a > 0  et trivialement a \ne 1

et c'est tellement évident que je ne voyais pas où tu voulais en venir ... (désolé de ne pas avoir eu ta clairvoyance)


quant au pb des ordinaux et des cardinaux je n'avais pas oublier (enfin c'est loin... très loin ... et je voyais où jsvdb voulais en venir) et je reconnais en jsvdb le bourbakiste formaliste pur et dur ... ... mais je ne pense pas que les élèves de licence sont capables de prendre toute la mesure de la chose ...

voir et


quant au lien que tu présentes effectivement il y a un pb pour déterminer la limite de x^y quand x et y tendent vers 0 : en fait et les exemples montrent que tout vient de l'ordre de grandeur de x et y

par contre x^x se prolonge sans aucun pb en zéro c'est à dire sur le seul chemin du plan x = y

Posté par
jsvdbre : Équation 13-10-19 à 10:25

@Sylvieg : merci car je ne connaissais pas la page wiki sur 00 et mon message 12-10-19 à 22:44 ne fait que résumer (très grossièrement) ce que l'histoire a écrit sur cette forme, tantôt déterminée si on travaille dans \N en voyant m^n comme le cardinal des applications d'un ensemble de cardinal n dans un ensemble de cardinal m, tantôt comme une forme indéterminée de f^g où f et g tendent vers 0 en un point donné où effectivement,

Citation :
tout dépend de l'ordre de grandeur de f et g
dixit carpediem. Et ici, l'ordre de grandeur est connu.

Tout ceci ne donne que plus de poids à ma conclusion : quand on pose un problème, on doit (et c'est un impératif) en définir rigoureusement les contours. Il faut donc préciser où vit x.
Évidemment, je ne parle pas des cas où dépasse le cadre des réels pour devenir, par exemple, un complexe.

On a donc virtuellement trois problèmes dans un seul post (c'est une FI de problème )

Résoudre dans \N l'équation x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x

Résoudre dans \R_+^* l'équation x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x

Résoudre dans \R_+ l'équation x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x

Allez, pour le fun :

Résoudre dans \C l'équation x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x ... vraiment pour le fun !

Posté par
jsvdbre : Équation 13-10-19 à 10:30

Sylvieg @ 13-10-2019 à 09:29


@olange,
Si toutes ces discussions t'embrouillent trop, je peux dupliquer ton premier message et certaines réponses.
Dis-moi si ça te semble judicieux \;

Je propose plutôt de faire le contraire, et de déplacer les messages de cette discussion (très intéressante) autour d'un expresso ou d'une détente !
C'est intéressant car les néophytes peuvent constater que les maths ne sont pas réduites à une poignée de formules sans intérêts et que de réelles discussions peuvent surgir et que par suite ce n'est pas un problème de
Citation :
vous n'êtes pas d'accord sur les réponses...
, mais qu'un même problème a des éclairages très différents.

Posté par
carpediemre : Équation 13-10-19 à 11:22

au contraire je pense que la discussion à tout lieu de rester avec le sujet pour que les futurs lecteurs se rendent bien compte de la difficulté d'un pb quand il est mal posé ou quand on ne prend pas des précautions

mes deux résolutions montrent tout à fait ce pb et l'énoncé même aussi puisque

olange @ 12-10-2019 à 17:16

\large x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x

Dans la correction de cette équation, il est marqué dès le début :

Deux racines évidentes : 0 et 1.
le correcteur montre implicitement qu'il s'est placé dans un cadre ... justement réfuté par Sylvieg à raison !!

Posté par
carpediemre : Équation 13-10-19 à 11:23

quant au lecteur de post-bac il doit être à même d'en extraire la substantifique moelle et s'y retrouver !!

Posté par
jsvdbre : Équation 13-10-19 à 12:00

Mathématiquement, je préfère l'expression "condition nécessaire d'existence d'objets" ou "bonne définition des objets" à celle de "précaution".
A force de parler de précaution, ou de principe de précaution, on finit par ne même plus respirer tellement on en vient à avoir peur de son ombre.
Alors dès qu'il y a une racine carré dans un problème, certains sont littéralement tétanisés.

Posté par
carpediemre : Équation 13-10-19 à 12:40

oui bien sur ... mais prendre ses précautions c'est préciser les conditions mathématiques de validité de ... la situation

quand je vais me balader (une longue balade) je prends mes précautions en prenant par exemple une gourde ...

cela ne m'empêche pas de ... mais au contraire de pouvoir ... (ce n'est donc pas privatif mais libérateur)

Posté par
jsvdbre : Équation 13-10-19 à 12:45

Citation :
prendre ses précautions c'est préciser les conditions mathématiques de validité de ... la situation

Ok, je vois qu'on dit en substance la même chose sous deux angles psychologiques différents.
Et là une excellente précaution est d'aller prendre l'apéro ... ça libère

Posté par
carpediemre : Équation 13-10-19 à 12:49

je ne sais pas si c'est une précaution ... mais surement un plaisir !!!

donc à ta santé !!

Posté par
jsvdbre : Équation 13-10-19 à 12:56

A la tienne 🍸

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation avec l'inconnue dans des exposants 13-10-19 à 14:47

Bon, je pense que le dessert est terminé \;
J'ai fait ce que j'ai pu.

Posté par
jsvdbre : Équation avec l'inconnue dans des exposants 13-10-19 à 15:20

Alors tu viens prendre le ☕ ?
Je vois que tu as fait du déménagement, mais le problème va rester irrémédiablement le même : de quelle fonction parle-t-on ?

Posté par
mousse42re : Équation avec l'inconnue dans des exposants 14-10-19 à 00:48

Salut,

Sur un forum voisin, j'ai trouvé ceci :

Posté par
jsvdbre : Équation avec l'inconnue dans des exposants 14-10-19 à 02:15

Ouaip, c'est en substance tout ce qu'on a dit ici, sans les développements ...

Posté par
jsvdbre : Équation avec l'inconnue dans des exposants 14-10-19 à 02:20

La fin du chapitre 2, §3), sont les idées qu'a développées Cauchy à l'époque et qui a ébranlé l'édifice; il a montré que 0^0 devenait une forme indéterminée.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation avec l'inconnue dans des exposants 14-10-19 à 08:28

Bonjour de bon matin,
Merci mousse42 pour le lien.
J'ai été à deux doigts de choisir "0 exposant 0" comme titre de ce sujet \;
Décidément, beaucoup de doigts dans mes messages.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !