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Niveau Maths sup
équation complexe
Posté par didi424242
Bonjour,
Je cherche à résoudre : (z²-4z+5)²+(z+1)²=0
Est-on obligé de developper ?
Merci.
Bonjour,
Non. Tu peux commencer par multiplier le 2ème terme par i⁴ = 1 et retrouver une forme a²-b²
(z²-4z+5)²+(z+1)² = 0
(z²-4z+5)²- (-(z+1)²) = 0
(z²-4z+5)²- (i²(z+1)²) = 0
(z²-4z+5)²- (i(z+1))² = 0
(z²-4z+5-iz-i).(z²-4z+5+iz+i) = 0
(z²-z(4+i)+(5-i)).(z²-z(4-i)+(5+i)) = 0
a)
z²-z(4+i)+(5-i) = 0
Delta = (4+i)²-4(5-i) = 16 - 1 + 8i - 20 + 4i = -5 + 12i
z = [(4+i) +/- (-5+12i)^(1/2)]/2
(a+ib)² = (-5+12i)
a²-b² = -5
2ab = 12
a²+b² = V(5²+12²) = V169 = 13
--> 2a² = 8
a² = 4
ab = 6
a = 2 et b = 3 convient par exemple
Et donc: +/- (-5+12i)^(1/2) = +/- (2 + 3i)
z = [(4+i) +/- (2+3i)]/2
z1 = [(4+i) - (2+3i)]/2 = 1 - i
z2 = [(4+i) + (2+3i)]/2 = 3 + 2i
b)
z²-z(4-i)+(5+i) = 0
Delta = (4-i)²-4(5+i) = 16 - 1 - 8i - 20 - 4i = -5 - 12i
z = [(4-i) +/- (-5-12i)^(1/2)]/2
z = [(4-i) +/- (2-3i)]/2
z3 = [(4-i) - (2-3i)]/2 = 1 + i
z2 = [(4-i) + (2-3i)]/2 = 3 - 2i
S : {1 - i ; 3 + 2i ; 1 + i ; 3 - 2i}
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Sauf distraction. 