Bonjour, tu pourrais déjà poser Z = ((z-1)/(z+1))⁷ et résoudre Z + 1/Z = 1
une fois que tu auras les solutions tu pourras prendre les racines 7 ième des solutions et résoudre (z-1)/(z+1) = ces solutions

alors, pour commencer merci de ton aide,
j'ai résolu l'équation Z + 1/Z = 1
ce qui m'a amenée à ce trinôme : -Z²+Z-1=0
j'ai trouvé les solutions:
Z= (1+i3)/2
et Z = ( 1-i3) /2
par contre je ne comprends pas ce que tu entends par prendre les racines 7ième des solutions ?

mets Z sous forme trigonométrique reⁱ
si z⁷ = reⁱ alors z = r^1/7e^i(+2k)/7 avec k = 0 à 6

d'accord, et donc là, je cherche les solutions à r^1/7e^i(+2k)/7  =  (z-1)/(z+1)
??

il faudra que tu détermine r et d'abord.

oui après, produit en croix, tu isoles z et tu auras les solutions de l'équation initiale.

je ne vois pas comment faire je suis totalement bloquée ,
si vous pouviez me conseiller..
désolée de vous embêter

(z-1)/(z+1) = _k
tu sais quand même tirer z de cette équation ? produit en croix, les z à gauche, le reste à droite, z en facteur, etc.... on apprend ça en première.

Et le module et argument de (1i3)/2, c'est pas là dessus que tu sèches ? si ?

non mais ce que je ne comprends pas c'est pour déterminer r et
ce qui me gêne, c'est quand vous marquez z⁷ = reⁱ
car on a posé Z= ((z-1)/(z+1))⁷ d'où reⁱ = ((z-1)/(z+1))⁷
c'est à dire r^1/7 e^i(+2k)7 = ((z-1)/(z+1))⁷
or vous avez marqué  z = r^1/7 e^i(+2k)7

Reprenons autrement :
on a posé Z = ((z-1)/(z+1))⁷
tu as trouvé les valeurs que pouvait prendre Z. donc si _k sont les racines 7 ième de Z (donc telles que _k⁷ = Z)

alors (z-1)/(z+1) = _k

c'est à dire z= (_k +1)/( 1- _k)

J'ai aussi  (1i3)/2 :
            r=1 et = /3


mais comment trouver _k à partir de ça ?

tu as la formule dans le post de 15:42

en remplaçant r et , j'obtiens = e^{i(/21 + 2k/7)[sup]1/7}[/sup]

j'ai donc z= (e^{i(/21 + 2k/7)[sup]1/7}[/sup]

+ eⁱ⁰) / (eⁱ⁰ - e^{i(/21 + 2k/7)[sup]1/7}[/sup]


j'ai pensé à utiliser la factorisation par l'angle moitié, mais la puissance 1/7 m'embête

non, il faut laisser k, tu as deux fois 7 solutions en fait
(et puis r=1 donc r^1/7 n'est pas bien gênant)

z= ( e^{i( /3+2k)/7} +1)/( 1- e^{i( /3+2k)/7} ) avec k = 0...6

d'accord, donc je peux laisser le résultat tel quel
je ne comprends juste pas, tu as retiré la puissance 1/7 ??
ou mon résultat n'était pas juste ?

1^1/7 = 1

dans mon résultat la puissance 1/7 concernait l'exponentielle pas le 1

((z-1)/(z+1))^7  +((z+1)/(z-1))^7   =1

Posons : ((z-1)/(z+1))^7 = Z

Z + 1/Z = = 1
Z² - Z + 1 = 0
Z = [1 +/- (-3)^(1/2)]/2

Z = 1/2 +/- i.((V3)/2)

Z1 = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi))
Z2 = e^(i.(2Pi/3 + 2k.Pi))

a)
Z1 = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi))

((z-1)/(z+1))^7 = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi))
((z-1)/(z+1)) = e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7)
(z-1) = (z+1).e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7)
z.(1 - e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7)) = (1 + e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7))
z = (1 + e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7))/(1 - e^(i.(Pi/3 + 2k.Pi)/7))

on trouve 7 solutions en prenant k dans N (depuis 0 jusque 6)

k = 0 :
z0 = (1 + e^(i.(Pi/3)/7))/(1 - e^(i.(Pi/3)/7))  
z0 = (1 + e^(i.(Pi/21))/(1 - e^(i.(Pi/21))
z0 = (1 + cos(Pi/21) + i.sin(Pi/21))/(1 - cos(Pi/21) - i.sin(Pi/21))
z0 = (1 + cos(Pi/21) + i.sin(Pi/21)).(1 - cos(Pi/21) + i.sin(Pi/21)/[(1 - cos(Pi/21))² + sin²(Pi/21)]
z0 = (1 + cos(Pi/21) + i.sin(Pi/21)-cos(Pi/21) - cos²(Pi/21) - i.sin(Pi/21).cos(Pi/21)  +i.sin(Pi/21) + i.sin(Pi/21).cos(Pi/21) - sin²(Pi/21))/[2 - 2.cos(Pi/21)]
z0 = (2 i.sin(Pi/21) )/[2 - 2.cos(Pi/21)]
z0 = i.sin(Pi/21)/(1 - cos(Pi/21))
z0 = i * cotg(Pi/42)

k = 1 :
...

K = 2, 3 , 4 et 5
...

b)
Z2 = e^(2i.(Pi/3 + 2k.Pi))
.

Sauf distraction.  

non, prendre la racine 7 ième d'une exponentielle c'est diviser l'exposant par 7

(eⁱ)^1/7 = e^i/7
et c'est bien ce qu'on a fait, l'exposant a bien un /7

Bonsoir,

L'équation est équivalente à
et peut se factoriser comme suit:


sachant que


Les racines répondent à une relation:



Alain

Merci à tous de votre aide, j'ai terminé l'exercice !
Et particulièrement merci à Glapion qui a pris du temps pour m'aider et à répondre à mes questions souvent idiotes, je pense que j'étais fatiguée et que je me suis créer des difficultés inexistantes,
bonne continuation !