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Equation complexe

Posté par
shaiyken 20-11-15 à 21:43

Bonjour, je travaille seul depuis les usa pour préparer mon examen d'admission d'ingénieur civil (pas de cours de prépa d'ici), je viens de résoudre en grande partie cet exercice mais j'aimerais un avis extérieur pour me dire si ce que j'ai fait est correct ou pas (si c'est bon il me reste juste à calculer les racines en elles-mêmes, je ne devrais pas me tromper...).

La question:

Soit p un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres complexes, l'équation suivante, où i désigne l'unité imaginaire:

(z-i)4 + p(z2+1)2 = 0

Donnez les solutions sous la forme a + bi (avec a et b réels).


p(z2+1)2 = -(z-i)4
p(z2+1)2 = i2(z-i)4

\sqrt{p(z^2+1)^2}=\sqrt{i^2(z-i)^4}
\sqrt{p}(z^2+1)=i(z-i)^2
\sqrt{p}(z)^2+\sqrt{p}=iz^2-i+2z
\sqrt{p}z^2+\sqrt{p}-iz^2+i-2z=0
\sqrt{p}z^2-iz^2-2z+\sqrt{p}+i=0
z^2(\sqrt{p}-i)-z(2)+(\sqrt{p}+i)=0

\Delta=4-4(p^2+1)
\Delta=4(2-p^2)

-Si p = \sqrt{2} 1 racine réelle
-Si p < \sqrt{2} 2 racines réelles
-Si p > \sqrt{2} 2 racines complexes

Merci beaucoup.

Posté par
alb12re : Equation complexe 20-11-15 à 21:50

salut,
z^2+1=(z-i)(z+i)

Posté par
shaiykenre : Equation complexe 20-11-15 à 21:52

Edit:

Je viens de voir mon erreur avec le delta, ce n'est pas p^2 mais juste p.

Ce sera donc:

p = 2 une racine réelle
p < 2 deux racines réelles
p > 2 deux racines complexes

Posté par
shaiykenre : Equation complexe 20-11-15 à 21:59

Merci je vais voir si j'obtiens la même réponse en remplaçant dès le début!

Posté par
alb12re : Equation complexe 20-11-15 à 22:06

il vaut mieux oublier ta redaction !

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 21-11-15 à 11:31

Bonjour,

La forme du polynôme p_4(z)=(z-i)^4+p(z^2+1)^2 me suggère la
recherche d'un polynôme symétrique: p_4(iu) en effet:

p_4(iu)=(iu-i)^4+p((iu)^2+1)^2=(u-1)^4+p(u^2-1)^2

Par construction ,un polynôme symétrique divisible par 1 ,
...

Alain

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 21-11-15 à 11:34

Lire z-1

Alain

Posté par
boninmire : Equation complexe 21-11-15 à 11:50

Ton passage aux radicaux est une mauvaise méthode.
Tu passes de :
p(z2+1)2 = i2(z-i)4
à
\sqrt{p}(z^2+1)=i(z-i)^2
en oubliant, sauf mauvaise lecture de ma part:
\sqrt{p}(z^2+1)=-i(z-i)^2
De plus tu écris p, alors que l'énoncé ne précise pas, sauf oubli de ta part, le signe de p.

Une meilleure méthode est de factoriser dès le départ, en distinguant selon le signe de p.
p≥0: on pose p=-i2q2
p<0: on pose p=-q2
avec q≥0.
Dans chaque cas, on obtient une différence de deux carrés, et on factorise. On a alors a résoudre deux équations du second degré, et non une seule. Tu as oublié a priori la moitié de la discussion.

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 11:59

on peut factoriser par (z-i)^2 des le debut.

Posté par
boninmire : Equation complexe 21-11-15 à 13:23

alb12 @ 21-11-2015 à 11:59

on peut factoriser par (z-i)^2 des le debut.

Encore mieux ...
Mais de toutes façons, factoriser, et non pas utiliser des radicaux

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 21-11-15 à 14:30

Bon après-midi,

A la racine double i correspond 1,
p_4(iz)  polynôme symétrique factorise en facteurs symétriques :
(z-1)^2((p+1)z^2+2(p-1)z+p+1)


Alain

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 14:35

la factorisation par (z-i)^2 est immediate.
Pourquoi tant de circonvolutions ?

Posté par
carpediemre : Equation complexe 21-11-15 à 14:42

salut

je plussoie ..

l'unique travail mathématique est de factoriser par (z - i)^2 ...

le reste n'est bon que pour les bourrins .... qui ne pensent pas ....

(ensuite faut tout de même répondre à la question ... ce qui ne dispense pas de réfléchir ...)

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 14:44

il y a pas mal de boulot pour discuter ensuite !

Posté par
carpediemre : Equation complexe 21-11-15 à 15:58

bof ... enfin pour voir ...

(z - i)^4 + p(z^2 + 1)^2 = (z - i)^2 [(z - i)^2 + p(z + i)^2]

c'est bien ce que je disais : en deux lignes c'est fini ....

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 16:45

2 lignes ? ... il faut ecrire les solutions sous la forme a+i*b, discuter selon le signe de p ...

Posté par
carpediemre : Equation complexe 21-11-15 à 17:01

carpediem @ 21-11-2015 à 15:58

bof ... enfin pour voir ...

(z - i)^4 + p(z^2 + 1)^2 = (z - i)^2 [(z - i)^2 + p(z + i)^2]

c'est bien ce que je disais : en deux lignes c'est fini ....


cas 0 :: p = 0 une trivialité que je ne traiterai pas !!!


cas 1 ::  p < 0  alors trivialement :

(z - i)^2 + p (z + i)^2 = (z - i)^2 - \sqrt {-p} ^2 (z + i)^2  et je retourne au collège


cas 2 :: p > 0  alors trivialement :

(z - i)^2 + p(z + i)^2 = (z - i)^2 - \sqrt p ^2 i^2(z + i)^2  et je retourne au collège

allez soyons honnête :: deux lignes par cas strictement positif ....

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 17:27

obtenir la forme a+i*b avec cette methode est trop long et surement pas faisable au college.
La resolution de l'equation du second degre est plus rapide.
Attention au cas p=-1.

Posté par
carpediemre : Equation complexe 21-11-15 à 17:59

ok pour le cas p = -1 .... mais en même temps je m'en fous ... car il apparaitra automatiquement ...

quand je dis je retourne au collège je signifie simplement que j'ai appris à factoriser a^2 - b^2 à cette époque !!!!



j'y ai appris aussi à très bien calculer ... donc un discriminant ne m'est pas nécessaire ....

d'ailleurs dans toute ma carrière de mathématicien je n'ai utilisé un discriminant dans à peine 1 % des trinômes ou équations du second degré que je rencontrais ....

évidemment je ne tiens pas compte des cas qui obligent à l'utiliser (ex : pb à paramètre ...) mais même dans ces cas il n'était pas toujours nécessaire ... quand la réflexion permettait de s'en dispenser ....

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 18:26

je maintiens qu'ici on va plus vite avec delta et sans risque d'erreur de calcul.

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 18:27

on est surement dans les 1 %

Posté par
carpediemre : Equation complexe 21-11-15 à 18:40

bof presque surement ... probabilistiquement parlant

Posté par
alb12re : Equation complexe 21-11-15 à 21:44

en reprenant les idees de boninmi et de carpediem je propose:

1/ dans le cas où p>=0 on pose p=u^2 et l'equation s'ecrit:

\\ \left(z-i\right)^{4}+u^{2} \left(z^{2}+1\right)^{2}=0 \\

\\ \left(z-i\right)^{2} \left[(u+i) z+1+iu\right] \left[(u-i) z-1+iu\right]=0 \\

2/ dans le cas où p<=0 on pose p=-u^2 et l'equation s'ecrit:

\\ \left(z-i\right)^{4}-u^{2} \left(z^{2}+1\right)^{2}=0 \\

\\ \left(z-i\right)^{2} \left[(1-u) z-i-iu\right] \left[(u+1) z-i+iu\right]=0 \\

Il faut reconnaître que c'est assez efficace

Posté par
boninmire : Equation complexe 22-11-15 à 08:44

Règle n° 1: on cherche à factoriser.

Posté par
carpediemre : Equation complexe 22-11-15 à 11:24

je plussoie ...

un incontournable pour toutes les équations et inéquations .... (sauf cas particuliers bien sur)

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 22-11-15 à 11:35

Bonjour,

A part la racine double i , quelles sont les autres racines exprimées en fonction de p?


Alain

Posté par
alb12re : Equation complexe 22-11-15 à 11:48

les racines des polynomes de degre 1 de la factorisation indiquee 3 posts au dessus

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 22-11-15 à 11:53

La voie que je propose- polynôme correspondant p(iz) symétrique - est je le reconnais détournée ,mais elle permet le calcul simple des racines:
(z-1)^2((p+1)z^2+2(p-1)z+p+1)=0 , z'_k  , z_k=i\times z'_k   


Alain

Posté par
alb12re : Equation complexe 22-11-15 à 12:14

il n'y a aucune difficulte pour trouver les racines d'un polynome de degre 2 à coefficients  complexes dont le discriminant vaut 4p.
Chacun peut preferer une voie à une autre.

Posté par
alainpaulre : Equation complexe 24-11-15 à 12:20

Bonjour,

Oui, tout à fait d'accord, la méthode proposée peut également permettre la résolution
d'une forme voisine :
p(z^2+1)^+(z-i)^4+pz^2
Et d'une manière générale permettre de résoudre P4(z) si P4(az)
symétrique,

Alain

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Equation complexe 24-11-15 à 16:47

z² + 1 = z² - i² = (z-i).(z+i)

(z-i)^4 + p.(z-i)²(z+i)² = 0

z = i est solution.

Si z est différent de i :
(z-i)² + p(z+i)² = 0

z² - 2iz - 1 + p(z²+2iz-1) = 0
z²(1+p) + 2z.i(p - 1) - 1 - p = 0

z = [i(1-p) +/- V(-(1-p)² + (1+p)²)]/(1+p)

z = [i(1-p) +/- V(-1-p²+2p+1+p²+2p)]/(1+p)

z = [i(1-p) +/- 2V(p)]/(1+p)

Si p > 0 : z = [i(1-p) +/- 2V(p)]/(1+p)

Si p < 0 (mais différent de -1): z = [i(1-p) +/- 2i.V(-p)]/(1+p)

Si p = 0, z = i (à rejeter dans ce cas ... mais déjà trouvé avant)
---------------------------------------------------------------
Groupement des solutions :

a) z = i pour toute valeur de p. (racine double)

b)

Si p > 0 : z = [i(1-p) +/- 2V(p)]/(1+p) (2 solutions complexes)
Si p < 0 (mais différent de -1): z = [i(1-p) +/- 2i.V(-p)]/(1+p)  (2 solutions imaginaires pures)

et si p = -1 ... on, arrive à :  -4z.i = 0 --> z = 0

Sauf distraction.  


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