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Equation d'inconnue complexe

Posté par
MrJ
22-11-20 à 17:39

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour cette exercice svp
Enoncé:
E* est le complémentaire de
m est un entier positif impair et p=(m-1)/2
on a cotan(x)=cos(x)/sin(x) défini sur \pi.
1) Donner en fonction de m le cardinal de \left[|-p ,p|\right] et expliciter avec cet intervalle le racine mième de l'unité et résoudre l'équation d'inconnue complexe y:
y^m=exp(-2i\pi x) où x appartient a E*

2) et je dois resoudre aussi  Z complexe:
(Z-i)^m(i+cotan(\pi x))+(Z+i)^m(i-cotan(\pi x))=0



Pour la question 1) je trouve que le cardinal de l'intervalle proposé est m
et je sais que les racines mième de l'unité sont de solution exp((2k\pi i)/m))
avec k entre 0 et m mais en utilsant l'intervalle je n'arrive que a exp((2k\pi i)/(2p+1)) pour k entre -p et p
et donc pour la resolutions de l'equation de y on aurait la même chose mais avec un x en plus ?

et pour la question 2 ) je n'ai aucune idée a part étudier
\frac{(Z-i)^m}{(Z+i)^m}=\frac{cotan(\pi x)-i}{i+cotan(\pi x)}

Posté par
carpediem
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 19:08

salut

si w = e^{i k \frac {2\pi} m} alors les racines de l'équation z^m = 1 sont les w^k pour k variant de 0 à m - 1 soit par translation de  -p = -(m - 1)/2 k varie de 0 - p = -p à m - 1 - p = (m - 1)/2 = p

ensuite on "ajoute" le x en plus effectivement ...

Posté par
carpediem
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 19:11

dans le quotient des cotangentes remplace par cos /sin, simplifie pour arriver à ...

Posté par
MrJ
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 20:47

merci de votre réponse
j'arrive donc a\frac{z-i}{z+i}=exp(\frac{-2i\pi x}{m}) mais ne sachant trop quoi faire de cela j'ai recherché un peu plus loin et j'ai trouvé

Z=\frac{2i}{1-exp(\frac{-2i\pi x}{m})}-i mais je ne sais trop quoi faire de cela

Posté par
MrJ
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 20:51

je viens de remarque qui si je pose z=Z+i on a zbarre=Z-i le conjugué mais je ne crois pas connaitre de propriété pour zbarre/z

Posté par
carpediem
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 20:51

en posant Z = (z - i)/(z + i) tu as donc Z^m = exp(...) que tu as résolue juste au dessus

tu as tes m solutions et pour chaque k entre 0 et m - 1 ou entre -p et p tu exprime z en fonction de Z ...

pour la dernière ligne : peut-être le réduire ...

Posté par
MrJ
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 20:54

MrJ @ 22-11-2020 à 20:51

je viens de remarque qui si je pose z=Z+i on a zbarre=Z-i le conjugué mais je ne crois pas connaitre de propriété pour zbarre/z

nan mon idéé est fausse car Z est complexe ^^

ah oui d'accord mais je ne donne pas de solutions pour Z mais pour z =(Z-i)/(Z+i) du coups cela ne suffit pas ?

Posté par
MrJ
re : Equation d'inconnue complexe 22-11-20 à 21:12

j'ai en effet Z=\frac{i(z+1)}{1-z} et mes solutions pour zm sont les w=exp(\frac{-2ik\pi x}{m}) ?
donc pour Z je remplace pour z après ?

Posté par
MrJ
re : Equation d'inconnue complexe 23-11-20 à 21:14

reBonjour,
j'ai une autre question qui suit celles d'avant d'abords j'ai trouvé donc que mes solutions de l'équation de ym sont exp(\frac{2i\pi (k-x)}{m})

et si vous pouvez me confirmer que Z=\frac{i(z+1)}{1-z} et que pour avoir toutes les solutions de Z je remplace z par mes solutions
et mon autre question en m'aidant de ce que j'ai trouvé avant je dois donner la valeur de :\sum_{k=-p}^{p}{cotan(\pi (\frac{x+k}{m})})

mais je n'ai pas d'idée vraiment valable peut être remplacer le cotan par la solution que l'on a trouvé avant ?

merci d'avance pour l'aide

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