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Niveau Maths sup
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Equation différentielle à coefficients non constants

Posté par
infophile 05-10-07 à 21:55

Bonsoir

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste :

Citation :
Résoudre l'équation différentielle : 3$ \rm t^2y''+ty'+y=\cos(2\ln(t)) (E) pour 3$ \rm t>0


J'ai effectué le changement de variable 3$ \rm t=e^x, ainsi 3$ \rm y(t)=y(e^x)=z(x)

3$ \rm z'(x)=e^xy'(e^x)=ty'(t) et 3$ \rm z''(x)=e^xy'(e^x)+e^{2x}y''(e^x)=ty'(t)+t^2y''(t)

On se ramène donc à l'équation 3$ \rm z''(x)+z(x)=\cos(2x) (L)

L'ensemble des solution de l'équation homogène est 3$ \rm S_H=\{\begin{array}{c}\varphi_1: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\x\to \lambda\cos(x)+\mu\sin(x)\end{array}\}

Soit alors l'équation 3$ \rm w''(x)+w(x)=e^{i2x} (L_{\mathbb{C}}).

Si 3$ \rm w_0 est solution particulière de 3$ \rm (L_{\mathbb{C}}) alors 3$ \rm \Re(w_0) est solution particulière de 3$ \rm (L)

Comme 2 n'est pas racine de l'équation caractéristique on cherche une solution sous le forme 3$ \rm w_0(x)=a_0e^{2ix}.

On a 3$ \rm w''_0(x)=-4a_0e^{2ix} donc 3$ \rm w''_0(x)+w_0(x)=e^{2ix}\Leftright e^{2ix}(-3a_0)=e^{2ix}\Leftright a_0=-\frac{1}{3}

Par conséquent 3$ \rm z_0(x)=-\frac{1}{3}\cos(2x) et l'ensemble des solutions de 3$ \rm (L) est : 3$ \rm S_L=\{\begin{array}{c}\varphi_2: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\x\to \lambda\cos(x)+\mu\sin(x)-\frac{1}{3}\cos(2x)\end{array}\}

Et finalement comme 3$ \rm x=\ln(t) on en déduit les solutions de 3$ \rm (E) :

3$ \blue \rm \fbox{S_E=\{\begin{array}{c}\varphi: \mathbb{R^{+\ast}}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\t\to \lambda\cos(\ln(t))+\mu\sin(\ln(t))-\frac{1}{3}\cos(2\ln(t))\end{array}\}

Merci

PS : Est-ce que Maple sait résoudre les équa diff ?

Posté par
veledare : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:07

j'ai refait tes calculs je n'ai pas vu d'erreur

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:09

Merci veleda d'avoir pris le temps de vérifier !

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:13

Ca m'a l'air juste aussi

Joli.

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:15

C'était histoire de m'assurer que c'était la bonne méthode, pas que je fasse une série d'exos où ils seraient tous faux

Posté par
moominre : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:38

Salut

Oui, tout est juste

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:39



Salut Alex

Je ne suis pas une balance, mais ...
limite

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:40

J'attendais ta confirmation

Ca va ?

Windows live messenger ne démarre pas sous Vista

Posté par
moominre : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:47

Salut Guillaume

Merci pour l'info ! T'avais promis de le surveiller

Salut Kévin

Qu'est-ce que t'as fait encore ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:51

Je suis absolument irréprochable

Pour msn je sais pas, pas moyen d'afficher la fenêtre de démarrage

Je vais voir si j'ai le temps demain de trouver une solution, mais ma boite mail fonctionne toujours

Bon les jeunes j'vais dormir, bonne nuit

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:54

Citation :
Je suis absolument irréprochable


Il est surtout habillé de manière irréprochable. Il a du goût ce jeune homme

Bonne nuit. Profites-en bien

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:55



3$ \rm \magenta Good Night

Posté par
moominre : Equation différentielle à coefficients non constants 05-10-07 à 23:57

Tu sais que Kévin  adore le rouge ?

Bonne nuit, cher mari

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 11:21



Là c'est "bon ap" je déjeune ^^

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 13:03

Là je tente de résoudre l'équation 3$ \rm t^2y''-2ty'+2y=2t^3\sin(2t) (E) pour 3$ \rm t>0

Toujours en utilisant le changement de variable 3$ \rm t=e^x je me ramène à :

3$ \rm z''(x)-3z'(x)+z(x)=2e^{3x}\sin(2e^x) (L)

Les solutions de l'équation homogènes sont 3$ \rm S_H=\{\begin{array}{c}\varphi_1: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\x\to \lambda e^{-x}+\mu e^{-2x}\end{array}\}

Mais pour la solution particulière, l'exponentielle dans le sinus m'embête un peu...

J'ai pensé à chercher la solution particulière plutôt avec 3$ \rm (E), mais pour trouver la forme de la solution on y va à l'instinct ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 13:25

Le topic est vite enterré le week end

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 14:35

Up

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 14:44

Merci guitou ^^

T'as une idée ?

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 14:51

C'est vrai que je n'ai pas souvent vu d'exponentielle dans une fonction trigonométrique... Mais tout est possible en maths ^^

Non je ne vois pas, et comment pourrais-je si toi même n'y arrive pas..

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 14:52

Il peut y avoir un truc simple qui m'échappe, c'est surement le cas ici d'ailleurs

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 15:32

Up

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 16:27

Personne ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 16:29

Tu m'enlèves les mots de la bouche

Fini l'aspi ?

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 16:30

Oui , c'est tout propre maintenant

Posté par
moominre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:16

Tu viens le passer aussi chez moi ?

Et un p'tit up Personne pour aider Kévin ? SVP

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:18

J'ai mes Uppers attitrés

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:25

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:26

Je vais même sortir la pancarte



Posté par
jeansebre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:32

Salut Kevin!

Un petit up par solidarité, car pour le reste,j'ai les neurones un peu encrassés...

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:33

Salut jeanseb

Merci du soutien

En attendant j'avance sur la suite du DM ^^

Attention prochain up : je menace de faire du multipost

Posté par
jeansebre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:37

> Kevin:

Un petit lien pour passer le temps...j'adore!

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:42

Ca swing et ça motive pour le DM

Merci jeanseb

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 17:44

Sinon y a ça

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 18:30

guitou > Est-ce que tu peux vérifier si cette solution particulière vérifie l'équation (E) ?

3$ \rm y_0(t)=-\frac{1}{4}[(6t^2-3)\sin(2t)+(6t-4t^3)\cos(2t)]\times \frac{1}{t} + \frac{1}{2}[(4t^3-6t)\sin(2t)+(-2t^4+6t^2-3)\cos(2t)]\times \frac{1}{t^2}

Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 18:54

Re Kevin!

De façon générale, l'équation différentielle

ay"+by'+c=P(t)ert (P polynôme de degré n)

admet pour solution particulière une fonction de la forme Q(t)ert où Q peut être choisi:


*De degré inférieur ou égal à n si r n'est ps racine de l'équation caractéristique ar²+br+c=0 (E)

*De degré inférieur ou égal à n+1 si r est racine simple de (E)

*De degré inférieur ou égal à n+2 si r est racine double de (E).




Ici ce théorème ne s'applique pas, donc on peut en effet chercher à l'instinct la solution particulière sous la forme

e3x(A.cos(2ex+B.sin(2ex), mais on s'aperçoit avec horreur en dérivant qu'il va apparaître des e4x et des e5x!

Je ne vois donc plus que la variation des constantes!

Or ton équation étant d'ordre 2, il faut passer par le Wronskien...Connais-tu cela?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 18:58

Merci Tigweg

Je ne connais pas non, on n'a pas vu en cours

Il doit y avoir une solution à notre niveau non ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:01

Si tu ne vois pas d'autres alternatives tu peux m'expliquer le Wronskien ?

Posté par
Seregherure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:04

Salut à tous,
J'ai le même résultat que toi pour la question b). Quant à la question c) à part "sentir" une solution du type exp(2it)*(a0+a1*t) j'avoue que je ne vois pas.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:06

En fait ce n'est pas la peine!

Dans ta solution générale de l'équation homogène

4$Ae{\frac{3+\sqrt 5}{2}x}+Be{\frac{3-\sqrt 5}{2}x},


considère A et B comme des fonctions dérivables de x, puis essaie de déterminer une condition suffisante sur A et B pour que

4$A(x)e{\frac{3+\sqrt 5}{2}x}+B(x)e{\frac{3-\sqrt 5}{2}x}

soit solution particulière del'équation avec second membre.

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:09

Euh j'ai pas ça comme solution de l'homogène, normal ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:11

Salut Antoine

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 19:35

Bon en prenant 3$ \rm z(x)=A(x)e^{-x}+B(x)e^{-2x} (mes solutions de l'homogène) je trouve :

3$ \rm e^{-x}[A''(x)-5A'(x)+5A(x)] + e^{-2x}[B''(x)-7B'(x)+11B(x)] = 2e^{3x}\sin(2e^x)

Et qu'est-ce que je fais de cette horreur ?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 20:43

P'tit eupe

Posté par
Tigweg Correcteurre : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 20:44

Je ne comprends pas, tu as bien dit que tu tombais sur:

z"-3z'+z=2e3xsin(2ex)?

L'équation homogène a donc pour équation carctétistique


r²-3r+1=0,

de racines 4$\{\frac{3-sqrt 5}2;\frac{3+sqrt 5}2\} ,non?

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 20:47

Oulala ça va mal moi

Oui donc je refais mes calculs

Il faut une relation comme dans mon post précédent ?

Merci !

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 20:58

En posant a et b les racines de l'équation caractéristique, et en injectant les solutions de l'homogène dans l'équa diff j'arrive à :


3$ \rm e^{ax}[A''(x)+(2a-3)A'(x)+\underb{(a^2-3a+1)}_{=0}A(x)] + e^{bx}[B''(x)+(2b-3)'B(x)+\underb{(b^2-3b+1)}_{=0}B(x)]=2e^{3x}\sin(2e^x)

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 20:59

On peut aussi remarquer que 3$ \rm e^{3x}=e^{(a+b)x} je sais pas si ça sert

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 21:06

Donc pour résumer :

3$ \rm e^{ax}[A''(x)-\sqrt{5}A'(x)]+e^{bx}[B''(x)+\sqrt{5}B'(x)]=2e^{ax}e^{bx}\sin(2e^x)

Si on divise par e^{ax}e^{bx} on a :

3$ \rm e^{-bx}[A''(x)-\sqrt{5}A'(x)]+e^{-ax}[B''(x)+\sqrt{5}B'(x)]=2\sin(2e^x)

Et là je suis censé voir une astuce ?

J'aurais bien regroupé (A+B)'' un truc du genre...

Posté par
infophilere : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 21:18

Ce qui me paraît bizarre c'est que A et B ne peuvent plus être des constantes sinon tout s'annule

J'ai pas du m'y prendre comme tu voyais le truc Tigweg

Posté par
gui_toure : Equation différentielle à coefficients non constants 06-10-07 à 22:06

Re

Citation :
le Wronskien


On dirait une sous-période du paléozoïque

Bonne chance en tout cas Kévin

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