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equation fonctionnelle et dérivée
Salut à tous
J'ai un petit probleme avec cet exercice, si quelqu'un pouvait me donner un petit peu d'aide ce serait pas de refus ...
Soit continue telle que
1. Montrer que est un intervalle
(ca c'est bon j'ai montré que et j'ai conclu avec le TVI)
2. Montrer que si f est dérivable alors, ou bien f est constante, ou bien f est l'identité (là je bloque complétement, j'ai essayé de dériver l'équation fonctionnelle mais ca ne donne rien, en tout cas il est sur que sur K, ou bien f est constante ou bien f est l'identité d'apres le théorème de Darboux )
Merci d'avance ... 
Le même problème sans l'hypothèse de dérivabilité dans ces deux topics : 
exercice: fof=f et Urrgentissime 
: injection surjection bijection
Merci Stokastik mais ca m'aide pas beaucoup ... c'est evident ce que vous racontez ... si f est injective ou surjective ....
J'arrive pas à me raccrocher à l'hypothèse de dérivabilité pour montrer que f est ou bien constante ou bien l'identité sur [0,1]
En tout cas si f n'est pas dérivable sur [0,1], ce n'est plus vrai
Il suffit de considérer pour cela la fonction définie par
f(x) = x si x appartient à [0,1/2]
f(x) = 1-x si x appartient à [1/2,1]
qui n'est pas dérivable en 1/2
Ton contre-exemple n'est pas valable f(3/4)=1/4 et f(f(3/4))=1/4.
Tu n'as pas lu attentivement les topics que je t'ai indiqués...
pardon j'ai dit une bêtise ton contre-exemple vérifie bien fof=f
Par contre je suis sûr que les topics que je t'ai indiqués peuvent te permettre de résoudre ton pb.
Je vois pas ou mon contre exemple n'est pas valable ...
Ce que l'on peut retenir des topics c'est simplmement que l'ensemble des fonctions CONTINUES vérifiant fof=f est constitué des fonctiions vérifiant
f([0,1]) = K
... mais en fait ce résultat est faux, il y a un problème dans l'énoncé. Regarde dans l'un des 2 topics, kaiser a décrit toutes les fonctions continues de [0,1] -> [0,1] qui vérifient fof=f, et il y en a qui ne sont pas dérivables.
... pfff c'est pas mon jour, non le résultat de kaiser ne contredit pas celui-ci... tu peux en fait t'en servir pour démontrer le tien je pense
Ce que dit Kaiser c'est exactement ce que je dis :
f est solution de fof = f ssi f([0,1])=K
il ne fait que caractériser le fait que f([0,1])=K
Oui et donc en notant K=[a,b] il faut montrer que a=0 et b=1.
Sur K on a f(x)=x. En dehors de K on a quand même f(x) appartient à K.
Si f est dérivable, sa dérivée en b doit étre égale à 1, donc f est croissante sur un petit intervalle centré en b, donc si b<1 pas possible que f(x) appartient à K sur cet intervalle à droite de b.
Ok ?
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