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equations avec nombres complexes

Posté par
manphi 14-01-09 à 21:03

Bonsoir,

il me me faut résoudre l'équation z^4=z+\bar z

J'ai remplacé z par re^{i\beta} et j'obtiens r^4e^{i\beta}=2rcos\beta

Je n'arrive pas à finir. Avez-vous des idées ?

Merci d'avance.

Posté par
PILre : equations avec nombres complexes 14-01-09 à 22:04

Salut,

Attention, tu obtiens \rm r^4e^{i4\beta} = 2rcos(\beta).Ce que tu peux écrire  \rm r^4cos(4\beta) + ir^4sin(4\beta) = 2rcos(\beta). Ensuite tu égales les parties réelles et imaginaires.

Posté par
doudjreponse 15-01-09 à 15:12

slt manphi
je suis daccord avecccc Pil car d apres    moivre si tu ecris
Z= re^{i\beta} ,  alors Z=r^ne^{in\beta} = r^ncos(n\beta)\,+\,ir^nsin(n\beta).
donc revenant a ton equation , on a bien r^4cos(4\beta)\,+\,ir^4sin(4\beta)\,=\,2rcos(\beta)
tu fais une identification entre partie et partie imaginaire.
ici la partie imaginaire est nulle cce qui signifie que soit r=0 soit 4=2 avec   et tu deduis dans ces conditions.
si r=0 alors Z=0 ceci concerne la partie imaginaire seulement0.
cooncernant la partie reelle tu dois develloper suivant la formule de Moivre le cosinus de 4 en fonction de cosinus et puis apres plusieurs calcul tu troouveras des coonditions sur .
remarque quand on examine la partie reelle on constate que r0 car r[1][/-n] est defini si r0.

Edit Coll : essai de récupération du LaTeX

Posté par
manphire : equations avec nombres complexes 16-01-09 à 20:48


Merci ça me sauve !!

Posté par
manphire : equations avec nombres complexes 17-01-09 à 18:33


Bonsoir,

En fait,en séparant réel et imaginaire j'obtiens un système r^4cos4\beta=2rcos\beta et r^4sin4\beta=0.
Donc 2 cas possibles soit r=0 soit 4\beta=0ou4\beta=\pi cad \beta=\frac{\pi}{4}

1ier cas:r=0 et donc z=0
2ième cas : r différent de 0 mais 4\beta=0 donc r=2^{\frac{1}{3}} donc z=2^{\frac{2}{3}
3ième cas: r différent de 0 mais 4\beta =\pi donc \beta=\frac{\pi}{4}}mais là je bloque, je n'arrive pas à finir !!

Merci de votre aide !  


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