Re Bonsoir !

Attaquons nous tout d'abord à Cauchy Riemann.
Tu as eu la bonne idée de penser à ces équations.

Supposons qu'une telle fonction holomorphe f(z)=P(x,y)+iQ(x,y) existe.
Que vaut ?

salut

et bien si tu connais Q(x,y) et que tu connais les conditions de cauchy tu dois resoudre un simple ( tres  ) systeme de derivées partielles

dP/dx=dQ/dy = x
dQ/dy=-dQ/dx= -y

je pense qu'un P(x,y) evident est x²/2 -y²/2, non ?

Merci à vous deux!

Comme la dit miikou, je dirais que P(x,y)=x²/2 -y²/2
Mais comment utiliser l'hypothèse que f est holomorphe?
Il me semble que si on utilise Cauchy, les fonctions sont toutes holomorphes mais j'ai un doute.
En revanche la fonction f verifie bien f(0)=0

Je suis d'accord, il s'agit bien de "la" solution.
Je me permets juste de dire que même si on a trouvé cette solution, rien ne nous dit que c'est la seule. ( C'est pour ca que je m'avançais vers une cherche par analyse synthese )
Donc il y a quand même quelque chose à ajouter sur ce point la.

Ensuite, il faut bien te souvenir que une application f(z)=f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y) est holomorphe si et seulement si P et Q sont des applications différentiables et vérifient les équations de Cauchy Riemann.

Je suis d'accord que c'est bien une solution mais peut être pas la seule mais comment faire pour trouver toutes les solutions?

Ça dépend de tes connaissances, par le théoreme des zéros isolés il est évident que c'est la seule mais il ne me semble pas que ca rentre dans le cadre de l'exo.

On pourrait reprendre le systeme d'équations aux dérivées partielles et le résoudre correctement mais ca nous fait reprendre les choses au point de départ.

Une autre manière de faire est de considérer l'existence d'une autre application S de R^2 dans R telle que g(x+iy)=S(x,y)+iQ(x,y) soit holomorphe et g(0)=0. Montre que nécessairement S=P.

merci!
En effet je ne pense pas que ça n'est pas l'objet de l'exercice et ça depasse mes connaissances.

Est ce que pourrais corriger ce que j'ai mis pour l'euation complexe car j'ai du faire de grosses conneries

Je me trompe (surement), mais j'ai l'impression que z = 0 est la seule solution
Vu que si Z*i/2 = 0 ça veut dire z = 0 pour moi.

Je trouve la même solution que toi mais ça me parait bizarre, il doit y avoir une erreur.

Je suis en train de m'entrainer sur des intégrales complexes.
Si vous pouviez me corrigez ça serait parfait car j'ai un examen demain qui porte desssus.

Je dois d'abord calculer l'intégrale sur C(0,1) je suppose que ça veut dire cercle de centre (0,0) et de rayon 1
la fonction à intégrer est cos(z)/z^3
j'utilise le th des residus, ça me fait donc 2i*pi*1/2lim de z tend vers 0 de -cos(z)= -ipi

ensuite je coince sur celle là, toujours sur un cercle mais de rayon 2 mais je dois maintenant intégrer (1+z)dz/(e^z-1)shz
Je ne sais pas comment faire car le dénominateur n'est pas du type polynome...

pour la troisième, toujours sur un cercle de rayon 2 je dois intégrer e^zdz/(z-ipi/2)²

cette intégrale est egale à 2ipi*exp(ipi/2)=-2pi

ensuite on pose f(z)=1/(z^4-1)
et on me demande combien de valeurs peut prendre l'intégrale sur C(zo,R)f(z)dz zo complexe et R un rayon strictement positif.

je repondrais 6 valeurs, soit 0 soit residus en 1,residus en -1,residus en i,residus en -i  soit en 1,-1,i,-i

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Non 0 n'est pas la seule solution !
Je rappelle quand même que i a été introduit d'une manière bien précise : c'est une racine du polynôme !
Donc on est assuré que . Ca nous donne au moins une autre solution et même mieux ! Ça nous en donne une infinité dénombrable. Tu vois lesquelles ?

Ensuite pour parler de la puissance d'un nombre complexe, il faut parler de logarithme. Malheureusement, si l'analyse complexe est très agréable elle a ses défauts. En particulier l'exponentielle de C dans C* n'est plus bijective et le logarithme est mal défini.

Donc il faut faire très attention. Ici fixe toi les choses, donne toi un logarithme ( par exemple le logarithme principale ) bien défini et regarde ce que ca donne : ).

bonsoir,

je dirais déjà que i=exp(ipi/2) donc i^4=exp(2ipi) et comme l'exponentielle 2ipi exp(2ipi+2kipi) est l'ensemble des solutions.

le logarithme principal= log|z|+iargz ou arg z appartient à [0,2pi[

est ce que tu aurais le courage de regarder ce que j'ai écris sur les intégrales le long d'un chemin?

merci d'avance

Oublions ce que j'ai dit pour les i=exp... J'ai complètement deconné

Pour les solutions entière je dirais z=4k avec k appartenant à N.
Petite question bête i^-nombre positif est ce que ça existe?

i^z=exp(zlog(i))=1 zlog(i)+2kipi=0 j'ai rajouté les 2kipi car l'exponentielle complexe est périodique de periode 2ipi.

ensuite en developpant le log i on a z(ipi/2)+2kipi=0
Est ce bon?

je pense sh s'annule en 0 sur C
e^z -1 s'annule tous les 2ikpi  elle s'annule en 0 sur C
Le problème c'est que j'ai deux fois le même pole donc je sais pas bien comment faire.

i^-1 tu connais non ? On peut ensuite généraliser à i^(-n) quand n est un entier naturel, il n'y a pas de soucis.

oui i^-1=-i, en fait je connais très bien. On va mettre ça sur la coup de la fatigue
quand on simplifie je trouve z=-4k donc je retrouve les solutions entières, un peu étrange...

pour trouver les autres zero de sh(z), ça revient à resoudre exp(2z)=12(z+ikpi)=0 d'ou z= -ikpi/2

Étrange ? Pourquoi cela ?
On a remarqué qu'on avait ses solutions et au final on ne se retrouve qu'avec ces solutions ! Il n'y a pas de probleme.

Par contre, il y a une question à se poser : si on avait choisit une autre détermination du logarithme, les solutions seraient-elles encore les mêmes ?

Citation :
pour trouver les autres zero de sh(z), ça revient à resoudre exp(2z)=12(z+ikpi)=0 d'ou z= -ikpi/2

Si on avait changé la détermination du log on n'aurait pas les mêmes resultats mais le tout est de préciser la détermination du log qu'on a prise.


exp(2z)=1   2(z+2ikpi)=0 d'ou z= -ikpi

Y'a un truc que je me demandais, quand on dit que exp est periodique de periode 2ipi, on doit faire 2(z+2kipi) ou 2z+2kipi? la première solution me semble plus bonne que la deuxième.

Pour l'intégrale avec le sh je vois toujours pas comment procéder car sh s'annule en 0 et e^z-1 aussi donc il faut que je multiplie le numérateur par ces deux membres et après je passe à la limite? Et ensuite j'additionne aussi les residus des sh car il ne s'annule pas qu'en 0. Est ce que ma méthode est bonne?


Dernière question: une intégrale qui n'a rien de complexe mais je ne vais pas créer un sujet pour cette questions.


A la fin d'un ex, on me demande de calculer l'intégrale de -°° à +°° de dx/(x²+1)^n
Est ce possible de calculer celà? A moins qu'il faille que j'utilise les questions qui sont avant celles là.

Oui, ce ne sont plus les mêmes solutions, elles diffèrent très légèrement ( tu pourrais d'ailleurs voir comment par un simple calcul ).

Ok pour les zéros de sinh.

Pour la périodicité, par définition : et on montre par des petits calculs que .
Cette dernière formule est, je pense, à retenir.

Pour ton histoire de pôle en 0. C'est comme pour une fonction rationnelle. Tu calcules le résidu de la même manière (je vois pas plus simple sur le coup) ou D c'est la dérivée selon z.

Pour ta derniere intégrale : va jeter un oeil ici Théorème de residus

Merci pour ton aide

Donc si j'ai bien compris pour la periodicité, si on on avait exp(2z) c'est egal à exp(2(z+2ikpi))

Pour l'intégrale avec le sh, quand je multiplie par z², ça me fait [z²(1+z)]/[(e^z-1)shz]
quand je dérive j'ai [2z(1+z)+z²]*e^z -1 - e^z * [z²(1+z)]/ [((e^z) -1)shz]²

mais quand je fais la limite en 0 c'est toujours interdit en bas donc...
A moins que je t'ai mal compris.

Pour la dernière intégrale, merci pour le lien, je vais essayer de refaire les calculs.

merci pour toutes ces explications!

Pour l'intégrale, je ne savais pas qu'on pouvait être ammené à faire des développement limités, je pensais que les résidus permettait de trouver tout de suite, c'est pourquoi je trouvais ça bizarre.

On ne remet pas en cause les résidus, juste la manière de l'obtenir (et il y en a plein) : ici c'est pas les développements limités.