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Equations racines de polynome

Posté par
gEulerien 16-03-19 à 15:07

Bonjour,
Je bute sur le problème suivant :
Déterminer le triplet (x,y,z) appartenant aux complexes tel que :

\begin{cases}\ x(y+z)=1\\y(z+x)=1\\z(x+y)=1\end{cases}

Je suis arrivé au système suivant :

\begin{cases}\ (x+y+z)^{2}=18\\xy + xz + yz = \frac{3}{2}\\(xyz)^{2}= \frac{1}{8}\end{cases}

Les carrés me gênent car j'aimerais bien utiliser les relations avec les polynômes, j'aimerais donc savoir si je suis sur la bonne voix, merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 15:14

Bonjour

Tu peux finir comme ça en remarquant que
(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-(x+y+z)X^2+(xy+yz+xz)X-xyz.

Posté par
gEulerienre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 15:26

D'accord je dois donc distinguer 4 cas différents pour appliquer la racine carré à mes équations qui me posent problème si je comprend bien.

Posté par
Camélia Correcteurre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 15:30

Quel cas? Tu es dans \C.

Posté par
gEulerienre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 15:40

Ah ! je n'y avait pas pensé, eh bien merci beaucoup de m'être venu en aide

Posté par
carpediemre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 15:54

salut

je ne sais pas comment tu arrives à ton système ... mais :

tout d'abord xyz \ne 0  (1)

ensuite :

xy + xz = 1
yz + yx = 1

donc par soustraction (x - y)z = 0

et d'après (1) z \ne 0 donc x = y

et évidemment on en déduit que x = y = z par symétrie ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 16:03

> Carpediem. Evidemment! Mais j'ai voulu le laisser réfléchir aux relations racines-coefficients, puisque c'était commencé comme ça!

Posté par
carpediemre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 16:05

désolé ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Equations racines de polynome 16-03-19 à 16:08

Pas de quoi… j'aurais fini par le dire!


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