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Espaces vectoriels

Posté par
jeannebl
15-04-22 à 21:11

Bonjour à tous,

j'ai tenté le problème B de la BLSES 2021 mais certaines questions me posent problème et les commentaires du rapport de jury ne m'éclairent pas
Pour les premières questions je n'ai pas eu de soucis mais ai tout de même recopié les informations principales, puis à partir de la question 7, le sujet étant assez long, je me suis permis de joindre un PDF (source : ENS PSL) conformément au règlement.


6) Pour cette question, soient v1 = (1, -1, 0), v2 = (-1, -2, 1) et v3 = (2, 0, 3)
a) ok
b) ok
Pour tout i € {1, 2, 3] et tout j € {1, 2, 3], on définit le vecteur ui,j = vi - vj. On note E^3 le sous-espace vectoriel de R^3 engendré par la famille (ui,j)1<= i <= 3, 1<= j<=3
c) ok
d) ok
Dans toute la suite du problème, n>= 1 désigne un entier naturel quelconque et v1, v2, ..., vn des vecteurs de R^n tels que la famille (v1, v2, ..., vn) forme une base de R^n

C'est principalement sur la question 7)d que je bute. J'ai retourné le problème dans tous les sens et en trouve que wi,j = w1,j - w1,i ; or ça n'utilise pas tous les vecteurs et n'est pas cohérent avec la question suivante
Car en effet pour la question 7)e : le rapport semble indiquer que  dim E = n - 1 = card (w1,2 , w1,3, ..., w1,n) car e vecteur wi,j s'exprime justement par cette famille de n-1 vecteurs, mais en réalité je ne comprends pas trop cette affirmation : c'est une équivalence qui est toujours vraie ? et c'est donc là bien une famille (wi,j) qui s'exprime par une autre famille ?
8)a) Je ne comprends pas tellement ce que signifie F  = R^n ... peut-on procéder par inclusion de F dans R^n puis égalité des dimensions ?....



8)c, 8)d) , 8)e) : je ne comprends pas non plus .. pour la 8)c) j'ai aussi fait de nombreux essais, en posant V = (v1, v2) par exemple puis en la multipliant avec la matrice au dessus ... mais je ne trouve pas!!

Merci beaucoup à ceux qui m'aideront ))

pdf
PDF - 102 Ko

Posté par
carpediem
re : Espaces vectoriels 16-04-22 à 13:04

salut

franchement !!

et tu crois qu'on va pouvoir t'aider sans avoir les premières questions pour connaitre un peu l'objectif du pb !!!

d'autre part il faut rédiger le début du sujet ici ... (lire la FAQ)

Posté par
jeannebl
re : Espaces vectoriels 16-04-22 à 13:40

Salut, oups :0 ! je pensais que les questions que j'avais réussi ne seraient pas en rapport avec les autres dsl!
Je le mets ici mais dites moi si il vaut mieux faire un nouveau sujet (parce que je ne peux pas modifier mon premier message je crois)

Problème :   (il commence à la question 6 car des problèmes se suivent mais sont indépendants les uns des autres)
6) Pour cette question, soient v1 = (1, -1, 0), v2 = (-1, -2, 1) et v3 = (2, 0, 3)
6) a) Montrer que la famille (v1, v2, v3) forme une base de R^3
6)b) Montrer que H = {x € R3 : Ǝ (λ1, λ2) € R2, x - λ1(v2-v1) + λ2 (v3-v2)] est un sev de R^3

Pour tout i € {1, 2, 3] et tout j € {1, 2, 3] on définit le vecteur ui,j = vi - vj. On note E3 le s-ev de R^3 engendré par la famille (ui,j)1 <= i <= 3, 1<= j <= 3
6)c) Donner la liste des vecteurs ui,j pour 1<= i<= 3 et 1<= j <= 3
6) d) que vaut dim (E3)

Dans la suite du problème, n >= 1 désigne un entier naturel quelconque et v1, v2, ..., vn des vecteurs de R^n tels que la famille (v1, v2, ..., vn) forme une base de R^n.

Puis toutes les questions suivante (de 7a à 8e) sont sur le pdf ) merci bcp !

Posté par
carpediem
re : Espaces vectoriels 16-04-22 à 15:21

carpediem @ 16-04-2022 à 13:04


et tu crois qu'on va pouvoir t'aider sans avoir les premières questions pour connaitre un peu l'objectif du pb !!!

Posté par
jeannebl
re : Espaces vectoriels 16-04-22 à 15:48

Je suis désolée, je ne sais pas quel est l'objectif du problème, il n'est pas indiqué ... Ce dernier commence réellement comme ça  

jeannebl @ 16-04-2022 à 13:40


6) Pour cette question, soient v1 = (1, -1, 0), v2 = (-1, -2, 1) et v3 = (2, 0, 3)
6) a) Montrer que la famille (v1, v2, v3) forme une base de R^3


Voici même un scan qui montre la fin du problème précédent (portant sur l'analyse d'une fonction et étant complétement indépendant) et le début de celui que je cherche à résoudre
jpdf
PDF - 98 Ko

Posté par
jeannebl
re : Espaces vectoriels 17-04-22 à 21:26

Bonjour, je me permets de remettre un message pour faire remonter le sujet car je crois qu'il est impossible de supprimer le post pour en recréer un et j'aimerais vraiment comprendre  ((:

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces vectoriels 22-04-22 à 00:09

Bonsoir
je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas dans la 7d et la 7e ?

Posté par
jeannebl
re : Espaces vectoriels 22-04-22 à 18:52

Bonjour,

je ne trouve aucune relation entre wi,j et w1,2 ; w1,3 .. w1,n ... et c'est obligatoire pour la question suivante je pense

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces vectoriels 22-04-22 à 21:00

je croyais que tu avais trouvé que

Citation :
wi,j = w1,j - w1,i
?

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces vectoriels 22-04-22 à 21:01

si tu tiens absolument à les utiliser tous, n'oublie pas que 0 est un coefficient tout aussi valable que 1 ou -1 ...

Posté par
Olly
re : Espaces vectoriels 23-04-22 à 02:07

Pour la 8.c)
Bonsoir,
Il semblerait que :

\lambda = \dfrac{a}{a^2 - b^2}

Et :

\mu = \dfrac{-b}{a^2 - b^2}

Conviennent. La condition imposée en début de question peut t'aiguiller.

Posté par
Olly
re : Espaces vectoriels 23-04-22 à 02:12

La 8.d) se déduit ensuite puisque tu obtiens une base de R^n en faisant des combinaisons linéaires avec des éléments de F qui est lui même un sous espace de R^n.

Posté par
jeannebl
re : Espaces vectoriels 23-04-22 à 11:07

lafol @ 22-04-2022 à 21:00

je croyais que tu avais trouvé que
Citation :
wi,j = w1,j - w1,i


Ah vous pensez que c'est suffisant ? Que l'expression n'a pas besoin de contenir (w1,2...w1,n) ?

Et d'accord merci beaucoup Olly

Posté par
lafol Moderateur
re : Espaces vectoriels 23-04-22 à 12:16

Qu'est-ce qui t'empêche d'écrire 0.w1,1 + 0.w1,2 + ... +1. w1,j + ... + (-1)w1,i+ ... + 0.w1,n ? (tous ceux qui ne sont pas écrits ont un 0 comme coeff, cette écriture n'est pas très cool car ne fonctionne que si 1 < j < i < n, il vaudrait mieux écrire \sum_{k=1}^n a_kw_{1,k} en précisant que a_j = -a_i = 1 et a_k = 0 si k n'est égal ni à i ni à j)



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