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Exercice complexe

Posté par
Dreamyy 05-10-18 à 23:33

Bonsoir,

Je dois faire un exercice cependant je bloque un peu ...

Voici l'énoncé :

Soit z \in .  Montrer que si  1+z+z²+...+z^{n-1}-nz^{n}=0 alors \left|z \right|\leq 1

Je ne  vois pas comment m'y prendre. Pourriez- vous m'aider ?
Merci d'avance,
Bonne soirée

Posté par
jsvdbre : Exercice complexe 05-10-18 à 23:47

Bonsoir Dreamyy.

Simplement, si |z| >1 alors \forall j \in \{0;\cdots;n-1\},~|z|^j<|z|^n

Comme |1+z+z^2+\cdots +z^n| \leq 1+|z|+|z|^2+\cdots |z|^{n-1}

Alors |1+z+z^2+\cdots +z^n| < n|z|^n

Et donc on ne peut avoir 1+z+z^2+\cdots +z^n = nz^n

Donc |z| \leq 1

Posté par
jsvdbre : Exercice complexe 05-10-18 à 23:51

* Il faut mettre des n-1 à la place de certains n ... je te laisse trouver où

Posté par
Dreamyyre : Exercice complexe 06-10-18 à 01:58

Je vois ! Merci beaucoup jsvdb :p

Bonne soirée

Posté par
carpediemre : Exercice complexe 06-10-18 à 08:54

nombre complexe


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