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Niveau seconde
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Fonction affine

Posté par
Hexperthyse
21-02-23 à 15:22

Bonjour voici l'énoncé
Pour la première question je ne comprends pas comment je peux prouver qu'une fonction est affine. Faut-il que je prouve que f^1(x)= f(x) = mx+p et que f^2(x) = f(f(x)) = m(mx+p)+p = m^2x+mp+p?

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:23

voilà l'énoncé

Fonction affine

* Modération > Attention : scan d'énoncé non autorisé ! *

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:24

Bonjour

Quel est le texte exact du problème ?

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:24

je l'ai mis en réponse

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:26

Oui, il faut alors montrer que f(mx+p) est de la forme m_1x+p_1

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:28

Je ne suis pas sur de comprendre il ne faut plutôt montrer que f(x) = mx+p?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:30

f^1(x)=f^0(f(x))=f^0(mx+p)

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:32

f est donnée comme une fonction affine. On vous demande de montrer qu'en composant, on a encore une fonction affine.

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:40

Donc si j'ai bien compris comme f^0(x) = x
alors f^0(mx+p) = mx+p donc on a prouvé que c'était une fonction affine.
Dans le cas de f^2(x) par exemple on fait : f^2(x) = f^1(f(x)) = f^1(mx+p) mais là je bloque on fait f^0(f(f(x)) = f^0(m^2x+mp+p) = m^2x+mp+p?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:46

Pourquoi revenir à  f^0 ?

f^1(x)=mx+p

 f^2(x)=f^1(f(x))=f^1(mx+p)=m(mx+p)+p=m^2x+mp+p

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 15:53

f^3(x) = f^2(f(x)) = f(f(mx+p)) = m*(m*(mx+p)+p)+p = m^3x+m^2p+mp+p. Je suis désolé mais je ne comprends pas en quoi on démontres que m^2x+mp+p est une fonction affine. Elle n'est pas totalement de la forme mx+p?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:04

Bien sûr que oui

 f^3(x)= f^2(mx+p)=m^2(mx+p)+mp+p=m^3 x+\underbrace{m^2+mp+p}_{P}

qui est bien de la forme Ax+ B

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:11

d'accord donc m3x =représente mx dans mx+p et m2+ mp +p représente p dans mx +p?
Pour la question 2 sur le coefficient directeur je peux dire que le mx est toujours positif?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:32

On pourrait dire que le coefficient directeur est   m^n

et l'ordonnée à l'origine  

dans le texte de 16 04 j'ai omis un p, on avait alors m^2p+mp +p

Qu'obtient-on pour n ?


Il est faux de dire que mx est toujours positif

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:42

je suis désolé mais je ne comprend pas la question qu'obtient -on pour n

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:52

Vous avez montré pour n=1  on avait comme ordonnée à l'origine p

n=2  on avait comme ordonnée à l'origine mp+p

n=3  on avait comme ordonnée à l'origine m^2p+mp+p

donc pour n, on peut penser à m^{n-1}p+\dots+p

expliciter les \dots

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 16:58

ah d'accord en fait l'ordonnée à l'origine est une fonction polynôme si je comprends bien

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 17:07

ambiguë

on a la somme des puissances de m, de 0 à n-1  fois p

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 17:09

d'accord donc ça y ressemble mais ce n'en n'est pas une. Je pensqis que le fait que ce soit une fonction polynomiale nous aiderait pour la question 3

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 17:17

Oui, cela va aider puisque l'on va être obligé de résoudre un système

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:12

je suis désolé mais sur la dernière je bloque complètement f^n(x) = 2048x-2047 donc cela revient à écrire 2048x-2047 = m^n+m^n-1+...+p?

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:12

Je ne sais pas résoudre cette équation

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:24

Cela conduit à résoudre

\begin{cases} m^n=2048\\\left(\sum_{k=0}^{k=n-1} k\right)p=2047\end{cases}

On peut remarquer que 2048 =2^{11}

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:25

lire

\begin{cases} m^n=2048\\\left(\sum_{k=0}^{k=n-1}m^ k\right)p=2047\end{cases}

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:27

je suis désole mais je n'ai jamais vu sigma en seconde

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:34

C'est juste pour écrire

m^{n-1}+m^{n-2}+\dots+m^2+m+1

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:43

donc si je comprend bien m^n = 2048
x=x
p = m^n-1p+m^n-2p+...+m+p = -2047 (car mx+p mais là +(-) = -)
Comment résoudre ces équations? m =\sqrt[n]{2048}?
Et pour la dernière on factorise ?

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:43

juste de passage :

\begin{cases} m^n=2048\\\left(\sum_{k=0}^{k=n-1}m^ k\right)p= - 2047\end{cases}

car l'énoncé dit bien fn(x) = 2048 x - 2047

en seconde, on ne voit pas le signe sigma..

trouver m dans un premier temps peut faciliter...

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:45

posté trop vite.

En remarquant que   2048  =  2 11

m n =  2  11    ===> en déduire m et n

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:46

m=2 et n=11?

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:47

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:48

Bonsoir Leile

On ne voit pas non plus la somme des puissances successives d'un même réel

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:51

Pour trouver que 2^11 = 2048 on essaye plusieurs fois à la clculatrice ou il y a une méthode?

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:52

bonjour hekla, c'est vrai.
Par contre il est possible de regarder ce qui se passe avec les
3 premières puissances de 2
4 premières puissances de 2
et en déduire comment on peut écrire 2047...

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:54

2^3 = 8
2^4 = 16 je ne vois pas où vous voulez en venir

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:58

2^0  =  1
2^1   =  2
2^2   = 4
2^3   =  8        ici  n=3
toi, tu cherches   à exprimer  2^(n-1)  +  2^(n-2)   + 2^(n-3) + ... 2^0
ce qui donne avec    n=3     :    2^2   +  2^1    + 1
ca fait combien ?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 18:59

Il n'y a que quelques puissances de 2 à calculer et  à en faire la somme

1+2+4+8+\dots +512+1024=
 \\

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:00

On avait pas dit que n=11?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:04

On a 2048=2^11 on ne peut avoir que m=2 et n=11

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:04

Hexperthyse, à qui réponds tu ?
si c'est à moi,  oui, bien sûr n=11.
Je te propose juste de regarder ce qui se passe avec n=3, puis avec n=4   pour en déduire sans calcul ce que ca donne avec n=11.
Mais si tu préfères, tu peux aussi faire le calcul complet comme le propose hekla.
Je te laisse choisir.

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:04

lire 2^{11}=2048

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:06

Pour Leile

Si vous faites dans la dentelle, l'autre est plutôt style percheron

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:09

Donc maintenant que l'on les valeurs de m et n pour trouver p on factoriser m^n-1p+m^n^-2p+p?

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:10

hekla,
dentelle ou  tricot,   gazelle ou percheron, etc...   voyons ce que Hexperthyse  préfère  

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:15

Hexperthyse
on a m=2  et n=11
on s'occupe maintenant   du  -2047   pour trouver  p

pour ça, on veut écrire "un peu mieux" l'expression
p * ( m ^(n-1) +  m^(n-2) + ........   1)
(là, j'ai factorisé par p)

comment écrire  ( m ^(n-1) +  m^(n-2) + ........   1)     ?
avec m=2 et n=11   ca donne
2 10   +  29   +  28  + .......    + 2^2   + 1

hekla te propose de faire le calcul avec ta calulatrice.
moi, je te proposais de trouver comment l'écrire sans calcul.

A toi de choisir  

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:27

-2047 = p * ( m ^(n-1) +  m^(n-2) + ...   +1) donc p*(2^11+2^10+...+2^1+1) = 4095p
p = -2047/4095 = -0,4998778999
Le résultat n'est pas un nombre entier est ce normal?

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:53

tu t'es trompé dans ton calcul....  4095  c'est beaucoup trop..
est ce que tu n'aurais pas ajouté 2048  par hasard ?
refais la somme...

Posté par
Leile
re : Fonction affine 21-02-23 à 19:55

p * ( m ^(n-1) +  m^(n-2) + ...   +1) donc p*(2^11+2^10+...+2^1+1)

si n=11,  tu dois commencer à  2^10  pas à 2^11 ...

Posté par
Hexperthyse
re : Fonction affine 21-02-23 à 20:07

donc -2047 = p*(2^10+...+2^1+1) = 2047p
p = -2047/2047 = -1
Je ne comprends pas vraiment p = -1 ou -2047 ? A-t-on besoin de trouver p alors que l'on avait déjà trouver n ?

Posté par
hekla
re : Fonction affine 21-02-23 à 20:12

Vous avez trouvé 2047 p=-2047 donc p=-1  c'est donc l'ordonnée à l'origine

on a donc f(x)=2x-1  et si l'on s'amuse à composer 11 fois cette fonction f , on aura à la fin f^n(x)=2048x-2047

On a bien besoin de m et de p

n est le nombre de tours de manège

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