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Niveau école ingénieur
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Fonction complexe

Posté par
Mathes1
28-10-23 à 20:00

Bonjour à tous,
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1)Montrer que la fonction u=2x(1-y) est harmonique.
2) Trouver une fonction v telle que f(z)=u+iv soit holomorphe
3) Exprimer f(z) à l'aide de la variable z
Alors je propose :
1) on a u=2x(1-y) donc
\dfrac{du(x,y)}{dx}=2(1-y)\\\dfrac{du(x,y)}{dy}=-2x
On a \Delta U =\dfrac{d²u(x,y)}{dx²}+\dfrac{d²u(x,y)}{dy²}=0\\ \text{d'où U est harmonique}
2) on a f est holomorphe et f(z)=2x(1-y)+iv=P(x,y)+iQ(x,y).
On a
\begin{cases} \dfrac{dP(x,y)}{dx}=\dfrac{dQ(x,y)}{dy}\\ \dfrac{dQ(x,y)}{dx}=-\dfrac{dP(x,y)}{dy}\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}2(1-y)=\dfrac{dQ(x,y)}{dy} (1)\\\dfrac{dQ(x,y)}{dx}=2x (2)\end{cases}
En intégrant (1) par rapport à y , on trouve Q(x,y)=2y-y2+k(x)(3)
On dérive (3) par rapport à x , on obtient \dfrac{dQ(x,y)}{dx}=k'(x), or d'après (2) on a :k'(x)=2x donc k(x)=x2+c/c
Donc (x,y)2 Q(x,y)=2y-y2+2x+c=v
3)
On a f(z) =u+iv =2x(1-y)+i(2y-y2+2x+c) avec z=x+iy
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediem
re : Fonction complexe 28-10-23 à 20:13

salut

tout d'abord pourquoi changer u + iv en P + iQ ?
tout simplement f(z) = u + iv = u(x, y) + iv(x, y)

comme primitive de 2(1- y)  j'aurai plutôt pris Q(x, y) = k(x) - (1 - y)^2

et au final Q(x, y) = x^2 - (1 - y)^2 + c

n'a-ton pas 2x = z + \bar z $ et $ 2y = z - \bar z donc remplacer x et y par leur expression en fonction de z $ et $ \bar z et simplifier

Posté par
Mathes1
re : Fonction complexe 28-10-23 à 21:11

Bonjour
Je ne comprends pas la valeur de Q ou v
Je trouve Q(x,y)=v(x,y)=2y-y2+2x+c
On a Re(z)=x=\dfrac{z+\bar{z}}{2} ,\\Im(z)=y=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}
Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Fonction complexe 29-10-23 à 09:01

oui j'ai oublié un i ...



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