C'est pareil que pour les fonctions à 1 variable, tu cherches les points critiques et ensuite tu les étudies.

>Salut Jacko

As-tu vu les méthodes avec "AC-B²" ?
où A=d²f/dx²
C=d²f/dy²
B=d²f/dxdy

Philoux

non pas du tout...
Je me demandais si cela suffisait de faire les derivées partielle et de regarder lorsqu'elle s annulent ?

>Jacko

Je n'ai pas (plus?) fait le cours mais j'apprends avec les exemples des exos résolus sur l', en posant des questions quand ce n'est pas clair.

Je te linke sur un exo résolu par J-P qui pourra t'aider : L1 AES: extrema et différentielles

Philoux

Sinon : recherche avancée avec extrema, extremum, global...

Philoux

L'annulation des dérivées premières partielles de la fonction sont des conditions nécessaires mais pas suffisantes pour avoir des extrema.

1°)
Chercher les couples (x,y) (si ils existent) pour lesquels on a simultanément:
et

2°)
Déterminer:

et

et



Pour Chaque couple trouvé en 1°, calculer les valeurs numériques de A, B et C.
-----
On a alors:

a)
Si A < 0 et AC-B² > 0, alors il y a un maximum de f(x,y) au point correspondant.

b)
Si A > 0 et AC-B² > 0, alors il y a un minimum de f(x,y) au point correspondant.

c)
Si AC - B² < 0, alors il n'y a ni maximum, ni minimum au point correspondant.

d)
Si AC - B² = 0, On ne peut pas conclure sur l'existence ou non d'un extremum au point considéré.
Il faut alors pousser l'étude plus loin pour pouvoir conclure.
-----
Sauf distraction.  

(re-)Bonjour,
puisque ca ne suffit pas dans le cas réel, ca ne suffit pas dans le cas plus global de R^n.
Il faut cependant que les dérivées partiells s'annulent simultanément (condition nécessaire) mais ce n'est pas suffisant pour avoir un extremum local.
Si tu cherches les points où la dérivée s'annule, tu as ce que l'on appelle les "points critiques".

Tu as juste à regarder si ces points sont des extrema (en revenant à la définition d'un extremum) locaux.
Les extremas globaux sont plus faciles à trouver en général.(si jamais on te les demande).

Je te fais le premier exemple, ou du moins le début:
f(x,y)=1/x+1/y+x+y
df/dx=1-1/x²
df/dy=1-1/y²
df/dx=df/dy=0 aux 4 points
(+-1,+-1) (sommets du carré de centre 0 et de coté 2, sauf erreur)

Après tu regardes si ces points sont des extrema, notamment f(x,y)=f(y,x) tu as une relation de symétrie entre x et y, tu n'as que 3 cas à considérer et non 4.
Pour celà, étudie le signe de
f(1+h,1+h')-f(1,1)
Idem pour les autres points.
Bonne chance,
a+

Bonjour otto

Cette méthode f(1+h,1+h')-f(1,1) est-elle complémentaire à celle exposée par J-P ou est-ce une autre méthode ?

Pourrais-tu, pour le point (1,1) seulement, développer stp afin de voir si c'est un extremum...

merci

Philoux

Salut,
bein cette méthode est la méthode la plus basique puisque l'on revient à la définition. Celle de JP demande un peu plus de travail (connaissances, et on ne la connait pas toujours mais elle se démontre bien, et en général c'est celle que l'on utilise car est beaucoup plus simple à manier.)

f(1+h,1+h')-f(1,1)=1/(1+h)+1/(1+h')+1+h+1+h'-1/h-1/h'-1-1
=1/(1+h)+1/(1+h')-1/h-1/h'+h+h'
c'est un peu lourd à étudier en fonction de h et h'...
c'est pas le meilleur exemple pour cette méthode

oups j'ai fait une erreur
je re commence:

f(1+h,1+h')-f(1,1)=1/(1+h)+1/(1+h')+1+h+1+h'-1/1-1/1'-1-1
=
1/(1+h)+1/(1+h')-2

Là ca simplifie

(1+h'+1+h)/(1+h)(1+h')-2
=
(2+h+h')/(1+h)(1+h')-2
=
(2+h+h'-2(1+h)(1+h'))/(1+h)(1+h')
pour h suffisament petit (positif ou négatif) (1+h)(1+h')>0 donc seul le signe du numérateur compte:

2+h+h'-2(1+h+h'hh')=-2hh'-h-h'
Reste plus qu'à disjoindre les cas.
Sauf nouvelle(s) erreur(s) de ma part.
A+

Non je me suis encore trompé, j'ai oublié un terme, bon on oublie les calculs, on a compris le principe, il faut étudier le signe de:

1/(1+h)+1/(1+h')+1+h+1+h'-1/1-1/1'-1-1
en fonction de h et h' voilà

Merci otto

Peut-être que le 3° ex s'y prête mieux

Philoux

Autre question : que faut-il faire quand AC-B² est nul ?

Je vais plutot faire le deuxième exemple, car moins de calculs et donc plus simple à visualiser:
f(x,y)=x²+xy+y²+2x+3y

df/dx=2x+y+2
df/dy=2y+x+3
df/dx=0 <-> y=-2(x+1)
df/dy=0 <-> y=-(x+3)/2
Notamment x=-1/3 y=-4/3 (sauf erreur naturellement)

f(-1/3+h,-4/3+h')-f(-1/3-4/3)=h²+k²+hk
sauf si je me suis encore trompé évidemment.
Ce qui donne un résultat positif.

Si maintenant on calcule
f(-1/3-h,-4/3-h')-f(-1/3-4/3)
on trouve encore le même résultat, qui est toujours positif.
Puisque la différence est positive autour de (-1/3,-4/3), c'est que la partie de gauche (ie: f(-1/3+-h,-4/3+-h')) est plus grande que la partie de droite (ie: f(-1/3-4/3)) et donc que le point est un minimum local.
Sauf erreur.
Amicalement,
Otto

Salut philoux, nos posts se sont croisés, j'ai utilisé le 2e exercice comme exemple.
A+

Je crois comprendre
Sauf ceci :

tu calcules f(-1/3+h,-4/3+k) et f(-1/3-h,-4/3-k) mais, à chaque fois, tu supposes (ou tu imposes) h et k de même signe.
Pourquoi ?
Que signifierait un h>0 et un k<0 ?
Pourquoi ne pas le prendre en compte ?

Merci

Philoux

Ok otto
j'y continué sur ton 16:18

Par contre si tu as (aussi) une réponse à mon 16:11 (AC-B²=0)

Philoux

Bon c'est clair que si on connaît la méthode de JP, c'est plus intéressant de l'utiliser.
(la raison est que si l'on a f(x+h,y+h')-f(x,y) où (x,y) est un point critique, on va trouver les termes linéaires et quadratique du développement de f.
Les termes linéaires vont s'annuler (la raison est simple, les termes linéaires sont justement les dérivées partielles évaluées en le point critique, et par définition ceci vaut 0)
Ce qui va influer le signe de la différence va donc être les termes quadratiques.
Notamment ce que JP énonce, cherche à étudier cette forme quadratique (dans l'exemple que je fais (exercice numéro 2) la forme quadratique est:
h²+hk+k²
Le résultat de JP montre que c'est une forme positive, c'est à dire qu'elle est toujours positive quel que soit h et k.
Ca pourrait ne pas être le cas, par exemple h²-k² est positive selon une direction (la direction k=0) et négative selon une autre direction(la direction h=0)
Notamment, on a donc ni un maximum, ni un minimum, on a un point selle (car graphiquement ca ressemble çà une selle de cheval (j'espère ne pas faire de faute sur ce mot). En effet, selon une direction c'est un maximum, selon l'autre c'est un minimum (j'utilise les pronoms démonstratifs "la" (direction) car 2 directions suffisent à définir le plan).
Notamment, la méthode de JP permet directement de trouver si la forme quadratique est positive, négative, ou ni l'un ni l'autre (dans le cas d'une forme quadratique binaire (ie 2variables), ni l'un ni l'autre correspond à une forme de signature (1,1))

C'est pour celà que l'étude des formes quadratiques est importante.
Notamment, si la forme quadratique est nulle en ce point (ce point=point critique), alors ce sont les termes d'ordre 3 dans le développement (s'il existe) qui donne le signe de
f(x+h,y+k)-f(x,y), et qui nous dit donc si (x,y) est un minimum, maximum ou rien du tout.
Notamment c'est non trivial et jamais (rarement?) utilisé.
Amicalement,
Otto

philoux, encore une fois nos posts se sont croisés, mais je pense répondre à toutes tes questions dans mon dernier post.
Amicalement.

>otto

Tout d'abord "forme quadratique" = "AC-B²" ? je crois que c'est ça mais n'en suis pas sûr.

Donc ta réponse à "Que faire qd AC-B²=0", il faut regarder les termes d'ordre 3 ?
T'aurais une exemple, (dans les exo types qu'ont tous les profs ) pour expliquer celà de façon simple, sur une forme f(x,y) qui s'y prête bien ?

Philoux

Salut,
regarder ce qui se passe au degré 3 ne doit jamais se faire je pense, je ne suis jamais tombé dessus en tout cas. Ce qui est sur c'est que c'est ce qui influence le signe.
(si k est tel que les termes d'ordre i<k sont tous nuls et le terme d'ordre k non nul, c'est lui (le terme d'ordre k) qui va influencer le signe)
Mais on ne s'en sert pas:
Une dérivée de fonction de R^n dans R est une matrice colonne nx1.
Une dérivée seconde de fonction de R^n dans R est une matrice n² (symétrique si C² en vertue du théorème de Schwarz).
Je ne sais pas comment représenter une dérivée 3e.
En tout cas ca doit pas être bien beau.
En général, dans les exercices, si on doit étudier une telle fonction, il y'a des simplications qui se font.
Dans le cas général, je doute que ce soit le cas.
A+

Au fait:
la forme quadratique sera Ax²+Cy²+2B²xy sauf erreur. (*)
Matriciellement c'est
(x y)*M*transposée(x y)
avec M=
(A B)
(B C)

On voit mieux, en regardant (*), pourquoi le signe de B²-AC entre en jeu....

Quand tu dis "on voit mieux"
tu parles d'un discriminant réduit

Ax²+2Bxy+Cy² qui amène à étudier AX²+2BX+C=0 ?

Ca ressempble au traitement des eq diff.
Y'a un rapport ?

Philoux

Salut, oui c'est un discriminant.
Tu peux également le voir autrement:
Un théorème du à Gauss (du moins il porte son nom) te dit que tu peux réduire toute forme quadratique, comme somme de carré de formes linéairement indépendantes.
Notamment, pour un exemple simple, je peux toujours trouver, à A,B,C donnés, trouver deux formes u et v qui soit linéairement indépendantes (ie, forment un famille libre dans (R²)*), telles que ta forme s'écrive
u²+v².
Ici, on peut faire un essai:
Ax²+2Bxy+Cy², et on trouvera que u et v s'expriment en fonction de AC-B².
Notamment, si on regarde la matrice M des dérivées partielles secondes, on voit que |M|=AC-B².
En fait ce n'est pas tellement surprenant:
On peut toujours réduire notre matrice, (théorème de Gauss que j'énonçais sous une autre forme) et on a, si je ne dis pas de bétises, une relation entre les valeurs propres de M et la matrice "réduite" que l'on va trouver.
Notamment, on peut se débrouiller pour que la matrice réduite ne comporte que des 1 des -1 ou des 0 (dans R).
Il y'aura autant de 1 que de valeurs propres positives, autant de -1 que de valeurs propres négatives, et de 0 que de valeurs propres nulles (ie: que la dimension du noyau de M).
Les valeurs propres on les trouve facilement pour une matrice d'ordre 2, et je te le donne en mille, ca dépend de B²-AC...
On pourrait penser qu'il y'a des valeurs propres complexes, mais ce n'est pas le cas (une matrice réelle symétrique est diagonalisable...)

Je fais le 2 avec la méthode que j'ai donnée.

(Par paresse, j'écris d même si ce sont des dérivées partielles)

f(x,y) = x² + xy + y² + 2x + 3y

df/dx = 2x + y + 2 = 0
df/dy = x + 2y + 3 = 0

qui donne le couple(-1/3 ; -4/3) comme seul candidat à un extremum.

A = d²f/dx² = 2
B = d²f/dxdy = 1
C = d²f/dy² = 2

AC-B² = 4 - 1 > 0

On a donc A > 0 et AC-B² > 0 --> il y a un minimum local de f(x,y) pour x = -1/3  et y=-4/3
-----

dsl otto, mais j'ai atteint mon point de Peters

J'ai décroché ...

La similitude de traitement des eq diff est un hasard ou relève d'une "homogénisation mathématique" (je ne sais pas comment la caractériser) ?

Philoux

La caractérisation est la même, lorsque tu as une système différentiel (ie équa diff en fait), tu cherches d'abord les solutions stationnaires, et tu regardes ce qui se passe dans leur voisinage.
Le principe est le même, on se déplace un tout petit peu de ces solutions à l'origine, et puisque par définition d'une solution stationnaire, sa dérivée est nulle, alors on étudie le signe par la forme quadratique habituelle, et ô étrangeté, on étudie le signe des valeurs propres
En fait l'idée sous jacente est exactement la même, même si l'utilisation est différente.
Reprend le temps de lire ce que je dis, si tu connais les notions, c'est pas compliqué.
Amicalement.

>otto 17:24

Ah ok
Je "sentais" bien cette similitude, mais le bagage théorique (bien que tu aies tenté de le vulgarisé lors des questions sur les valeurs/vecteurs propres il y a qques temps) me manque.
Cela ne reste qu'au stade de "notions" et les cours que j'ai tenté de lire seuls sont trop abscons...

Merci encore

Philoux

Les valeurs propres sont les coefficients de la diagonale lorsque tu peux mettre ta matrice sous forme diagonale (vulgairement). (les deux matrices sont semblables, on y passe par la relation
M=P^-1DP où P est une certaine matrice)
Lorsque tu as une matrice qui représente une forme quadratique, et que tu la réduis, tu la mets encore sous forme diagonale selon une autre relation, notamment la diagonale ne comprend que des 1 des -1 et des 0. (les deux matrices sont dites congruentes, et reliées par la relation:
M=Q^tD'Q où Q est une certaine matrice orthogonale)

Notamment, on aurait envie de dire que D et D' sont reliées d'une certaine manière.
C'est le cas notamment, car les 1, les -1 et les 0 peuvent être vues comme signe des valeurs propres de M.(ie le signe des éléments de la diagonale de M).

pardon, dernière phrase, dans la paranthèse, il faut lire:
ie le signe de la diagonale de D.
A+

Ici,-(facultatif)- je placerais bien le théorème de Schwartz qui dit :

Soit f(x,y) une fonction à deux variables réelles alors

!

Oui mais c'est faux:
Les hypothèses le sont, et la conclusion également...

pour t'en convaincre f(x,y)=x.
df/dx=1
df/dy=0

yes it's df/dxdy=df/dydx.
I put my hand in my face, i'm a vrai con !!!

Gute Abend, ich bin der Meinung, dass du ein gute Freunde.


ndlr :Aie aie l'allemand depuis 2 ans sans en faire, c'est dur la culture

Oui en fait c'est d²f/dxdy=d²f/dydx.
Mais dans le théorème de Schwarz on utilise le fait que f soit aussi C². (condition suffisante non nécessaire, notamment la preuve n'utilise que la continuité de d²f/dxdy et d²f/dydx)
A+

Bonjour

écrire d²f/dxdy signifie-t-il : dériver d'abord /x puis ensuite /y ?

Dans quel cas d²f/dxdy est-il différent de d²f/dydx ?

Philoux

Exemple :
f(x,y)=3xy+2y²+3.
Dérivée partielle première par rapport à x
3y

Dérivée seconde partielle par rapport à y
3

Dérivée partielle première par rapport à y
3x+4y

Dérivée seconde partielle par rapport à x
3  

Donc dérivée 2de partielle par rapport à x=Dérivée 2de partielle par rapport à y (3=3)

Merci davidk (et bonjour)

Mais est-ce que ça marche avec TOUTES les fonctions ?

sin(ln(x²y - xy^3) par ex...

Philoux

Salut Philoux, tu ne serais pas accroc un peu au forum?
Ca ne marche pas avec toutes les fonctions, mais ca marche avec les fonctions C².(donc avec tout polynôme déjà, donc c'est pas de ce coté qu'il va falloir chercher).
Je pense qu'avec la fonction
f:=(x,y)->xy(x²-y²)/(x²+y²)
(0,0)->1
on doit s'en tirer:
d²f/dxdy (0,0)=1
d²f/dydx (0,0)=-1

(C'est un contre exemple que je ne viens pas d'inventer, je suis allé le chercher dans un bouquin)

C'est une fonction qui n'est pas tellement méchante, donc on voit bien qu'il faut quand même s'assurer d'être dans les conditions d'application du théorème, car les contre exemples ne sont pas si loin.
A+

Merci otto

(_{Oui accroc au forum surtout qd c'est intéressant et nouveau pour moi : si tout l'enseignement avait pu être aussi argumenté, je pense que beaucoup d'élèves aimeraient (encore plus) les maths})


Une question b^te :
ta fonction n'est pas définie en 0,0 ?
on peut qd même faire les d²f...

Philoux

Salut,
oui elle est définie en 0, je lui donne la valeur 1.
Et je pense que ça la prolonge par continuité de toute facon, et pour des raisons topologiques simples, ce prolongement est unique. Si elle n'est pas prolongée, on la prolongerait donc naturellement, un peu comme la fonction
x->sin(x)/x.
Philoux, tu as arreté les maths assez tôt visiblement ou il y'a très longtemps, tu es ingé et tu n'as jamais fait ca? Admission parallèle?(sans indiscretion)

Bien vu otto : admission "par la p'tite porte"

Je comprends pour f(0,0) : c'est toi qui fixe f(0,0)=1

Pour revenir à ta dernière question : une fois ingé, à moins d'être dans un département de recherche, bon nombre d'ingé "oublient" les maths qui ne leur ont servi, la plupart du temps, qu'à être "évalués", "testés".

Subsistent ceux dont les maths sont comme un jeu, avec une pointe de vouloir mieux comprendre...
C'est pour cela que je parlais de "point de Peters" à 17:19

Philoux

Salut,
ne t'en fais pas, j'ai des amis ingénieurs, et la plupart des gens de ma famille le sont également, je sais qu'ils ne se servent jamais de ce qu'ils ont appris en cours (à part peut être les premières années et encore...)
En revanche je ne sais pas ce qu'est le point de Peters, mais je pensais comprendre que c'était un point de non retour ou quelque chose du genre.

Pour revenir à notre fonction, je te donne un exemple plus simple:
que vaut f(0) si f est définie sur R par
f(x)=sin(x)/x
Tu vas me dire qu'elle n'est pas définie, et tu aurais raison.
Celà étant, on peut la prolonger (comme n'importe quelle fonction) à R tout entier pour qu'elle y soit définie.
Mais il existe une manière beaucoup plus naturelle que les autres pour la définir en 0, et là ce n'est pas comme n'importe quelle fonction. Ce prolongement est le prolongement par continuité. (et la singularité en 0 est dite enlevable parce que l'on peut l'enlever, et justement, en général même si on ne dit pas que l'on l'enlève, on le fait quand même)

slt otto,

je m'incruste

mais quelle l'utilité d'un prolongement par continuité ?

>le point de Peters, je ne sais pas si c'est un joke ou pas, c'est le point d'incompétence.

C'est le niveau auquel monte un employé qui brillait jusqu'alors car compétent dans ce qu'il faisait. A ce nouveau niveau, il y est incompétent (du moins pdt un certain temps , on espère )

Ok pour l'analogie avec sin(x)/x

J'avais une question du même ordre restée en suspend dans un autre post :
est-ce que la continuité d'un f(x) entraîne la continuité de sa primitive ?
Quelles conditions à respecter ?

Philoux

L'interet est d'avoir une solution dont l'ensemble de définition est le plus grand possible.
Imagine une fonction définie sur R* et tu sais qu'elle est décroissante sur R*- et décroissante sur R*+.
Notamment, que peux tu dire globalement sur ses variations?
Rien.
Supposes maintenant que tu arrives à montrer qu'elle est prolongeable par continuité en 0.
Tu la prolonges, et là tu sais qu'elle est décroissante partout sur R ce qui est largement plus fort que ce que tu avais avant.

C'est un exemple très simple, et qui n'est pas forcément fondé, mais c'était juste pout te donner une idée.

Est ce que la continuité de f entraine celle de sa primitive?
Je te répondrais pas une autre question:
Qu'est ce qu'une primitive?

Ah ok

plutôt que raisonner fonction->primitive
tu veux me faire réfléchir sur :
fonction->dérivée

C'est l'objet de ta remarque ?

Philoux

>H_a : je t'ai répondu sur proba

mais c bizzare car on ne peut diviser par zero et donc .. enfin c genant quoi !

> philoux : je ne vois pas ta reponse !

Oui tu ne peux pas diviser par 0, mais là tu prolonges, tu dis que dans ce cas précis, tu peux en fait il ne faut pas voir cette division comme une division de nombre, mais plutot comme le prolongement d'un comportement local.

Philoux:
Si tu dérives une primitive de f, tu retrouves f.
Si tu peux dériver une primitive c'est qu'elle est dérivable, si elle est dérivable, elle est continue....

mais alors la question se pose plus de savoir si elle est définie en zero alors si l'on dit que l'on prolonge par continuité

a moins que l'on ne puisse le faire que sous certaines conditions ?

Oui c'est sur, regarde la fonction inverse:
x->1/x sur R*
Peut tu la prolonger par continuité en 0?