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Fonction linéaire quadratique multivariables

Posté par
saou 01-09-12 à 15:15

Bonjour à TOUS,

SVP, j'aimerais savoir est ce que la convexité des "Fonction linéaire quadratique multivariables" de type  par exemple,(xi - a)2, où les xi sont N variables,
est bien démontrée? Je ne trouves rien de clair sur internet.

Autre chose, c'est quoi la condition nécessaire et suffisante (désolée, je demande trop!) pour que la somme de fonctions convexes reste bel et bien une fonction convexe?

Merci beaucoup!

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 15:57

salut

sur un intervalle et plus généralement un ensemble convexe la somme de deux fonctions convexes est convexes ...

f est convexe :: f(tx + (1 - t)y) =< tf(x) + (1 - t)f(y)
g est convexe :: g(tx + (1 - t)y) =< tg(x) + (1 - t)f(y)

que peut-on dire de f + g ?

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 15:57

... + (1 - t)g(y) ....

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 16:06

Oui ca parait evident comme ca! merci
Mais Qu'est-il de ma première question?

Mon prob que je n'arrive pas à généraliser pour le cas multivariables, garde-t-on les même propriétés que le cas mono?

Merci.

Posté par
lolo271re : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 17:14

Bonjour,

L'application  (x1,.., xn)  -->  xi2  est convexe, donc par stabilité par somme on a la somme des carrés.
Maintenant faire des translations ne change pas grand chose.

Sinon tu peux aussi prouver que le carré d'une fonction affine est convexe.

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 17:24

oui j'allais le dire ...

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 19:12

@lolo271 et carpediem
Le problème c'est que ce n'est pas la somme des carrés mais plutôt le carré de la somme, il y a  des termes de type xixj qui figurent dans la fonction, vous voyez?

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 19:21

et même des produits plus longs: xixjxkxl..... qu'on trouve après développement!
J'ai dessiné (sur un logiciel) la fonction dans le cas de deux variables (x1,x2), elle est bien convexe mais ce n'est pas assez pour généraliser pour N>2.
Merci.

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 19:37

si on développe (xi - a)2 il n'ya que des doubles produits de 2 variables ....

il me semble que :

la fonction (x,y) --> x2 est convexe ...
la fonction (x,y) --> xy est convexe ...

donc par somme ta fonction est convexe ....

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 20:07

@carpediem

Oui tu as bien raison pour le développement on a que de produits de deux, (j'ai du me confondre par autre chose), merci
Mais la fonction xy n'est pas convexe, je ne sais pas comment tu trouves ceci evident, moi je ne pense pas que c'est convexe.

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 20:11

non c'est précédé de "il me semble que" ...

en fait on a la suite de fonctions ::

(x1,x2, ...) --> xi --> xi - a --> (.. - a)2

les deux dernières fonctions sont des fonctions d'une variable et convexes

la première est convexe ...

si la composée de fonctions convexes est convexes c'est gagné ....(mais j'en doute ...)

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 21:03

D'abord pour montrer la convexité de la première fonction que tu as considéré ( f: (x1x2...) --> xi-a)) on la prendrait pour la somme de N sous fonctions affines ou serait il plus rigoureux de raisonner sur chaque variable à part en considérant les autres fixes.
Après la deuxième fonction qui est le carré , elle s'appliquera (si comme tu dis, on raisonne sur fonction composée) sur non plus un vecteur mais un élément de , car la premiere fonction est de N vers et le carré comme composée est alors de vers , et c'est bien convexe alors, non?

Merci

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 22:39

oui

la première fonction de plusieurs variables est "affine" donc convexe sans le " - a" c'est même une forme linéaire et le " - a" ne fait que translater donc c'est convexe ..

oui .... je pense  ...

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 23:15

OK!
merci bcp pour ton aide et ton temps

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 23:22

de rien ....

mais attention ::

Citation :
si la composée de fonctions convexes est convexes c'est gagné ....(mais j'en doute ...)


n'oublie pas le "si" ....même si ça me semble raisonnable de douter de mon doute ...

Posté par
saoure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 23:31

D'accord je t'ai bien compris cette fois, (j'ai vu le si, )
Aurevoir!

Posté par
GaBuZoMeure : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 23:32

f: x\mapsto x^2-1 est convexe. g:y\mapsto y^2 est convexe. Et g\circ f ?

Posté par
carpediemre : Fonction linéaire quadratique multivariables 01-09-12 à 23:45

et oui .... tristesse ...

merci GBZM ...

et alors ? un coup de main mais pas trop fort ?

Posté par
Alexiquere : Fonction linéaire quadratique multivariables 02-09-12 à 00:33

Bonsoir !

Le topic suivant convexité d'une fonction à démontrer s'est avéré très rafraîchissant en la matière.
J'ai moi-même fait l'erreur et moi aussi j'eusse préféré que la nature fusse bien faite.

g \circ f est convexe si g et f sont convexes et si \Large \boxed {g  est  croissante}. Si on suppose ces deux fonctions dérivables (soyons fous deux fois), ça se voit très rapidement.

Notons que g croissante est une condition suffisante mais pas nécessaire.
x \mapsto \dfrac{1}{x^2} convexe (sur I on s'en fiche) est la composée de la fonction carrée et de la fonction inverse toutes deux convexes et la fonction inverse est décroissante (et si on compose dans l'autre sens parce que là c'est commutatif, sur \R_- la fonction carrée est décroissante...)

Dans l'exemple de GBZM, la fonction n'est donc convexe que sur \R_+ sauf erreur.

Je n'ai pas de notion de convexité sur les fonctions à plusieurs variables cependant. Je ne faisais que passer...

Posté par
Alexiquere : Fonction linéaire quadratique multivariables 02-09-12 à 01:06

... sauf qu'il est 1h du mat' et que faut pas faire des maths à cette heure-là. C'est marrant parce que j'étais au lit et j'y repense..., et puis quand je réalise la boulette, je me dis "je peux pas laisser ça quand même"... J'espère que ma culpabilité me pardonne un peu.

Remplacer g par f croissante (f' \times g' \circ f et comme f' et g' le sont déjà..). L'hypothèse f et g dérivables n'est pas nécessaire mais elle facilite la démonstration...

Pour l'exemple de GBZM, ce que j'ai dit reste vrai (coup de pot !) et mon contre-exemple fonctionne toujours parce que mes deux fonctions commutent ( quel talent !).

J'aurai pas du passer du tout... En espérant ne pas avoir à me relever...

Posté par
lolo271re : Fonction linéaire quadratique multivariables 02-09-12 à 11:50

sinon même si c'est le carré d'une somme et pas la somme des carrés : c'est positif et donc d'après Gauss (qu'il 'excuse de cette familiarité) c'estq quand même une somme de carré.

Posté par
Alexiquere : Fonction linéaire quadratique multivariables 02-09-12 à 16:33

ERRATA : Le produit de deux fonctions croissantes et positives est croissant. Ca fait une hypothèse en plus donc bon...
Autant dire, supposons quef \circ g est convexe. Alors f \circ g est convexe (on prend pas de risque mais c'est jamais...).

Voici le théorème : \boxed{\text{Soient f et g deux fonctions convexes, respectivement sur I et sur J inclus dans f(I). Alors si g est croissante},  g \circ f \text { est convexe  sur  I}}

La réciproque est fausse (cf mon contre-exemple ci-dessus).

Démo : Puisque f est convexe, \forall \lambda \in [0,1], \forall x, y \in I,   f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)
g est croissante donc g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le g \circ (\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)) et enfin puisque g est convexe, g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda g \circ f(x) + (1-\lambda)g \circ f(y)

Ca y'est, je disparais...

Posté par
GaBuZoMeure : Fonction linéaire quadratique multivariables 02-09-12 à 21:15

Je pensais que le problème initial avait été réglé : si f:\R^n\to \R^p est affine et g:\R^p\to \R est convexe, alors g\circ f est convexe. Il suffit de l'écrire, en utilisant le fait qu'une fonction affine conserve les barycentres.
On applique ici à f:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto \sum_{i=1}^n x_i -a et g:y\mapsto y^2.
Mais ceci a déjà été dit, non ?

Posté par
lolo271re : Fonction linéaire quadratique multivariables 03-09-12 à 14:21

oui mais parfois les gens lisent pas tout !

Posté par
Alexiquere : Fonction linéaire quadratique multivariables 03-09-12 à 18:24

Ha et concernant l'exemple de GaBuZoMeu, ce que j'ai dit est encore faux (le seul truc bien avec la rentrée, c'est que vous me verrez plus dire des bêtises sur ce forum parce que j'aurai plus le temps d'y venir ! )

La fonction g : x \mapsto x^2 est croissante sur \R_+ donc il faut prendre pour ensemble de définition I tel que f(I) \subset \R_+ car f est à valeurs dans [-1, +\infty[
I=]-\infty;-1] \cup [1;+\infty[ convient.
La composée x \mapsto (x^2-1)^2 est donc convexe sur I.

Le calcul de la dérivée seconde montre qu'elle admet un point d'inflexion pour \pm \dfrac{1}{\sqrt 3}. Elle est aussi convexe sur [-1;-\dfrac{1}{\sqrt 3}] \cup [\dfrac{1}{\sqrt 3};1] et ça on pouvait pas le savoir à priori...

Ca n'a pas grand chose à voir avec le problème initial (mais l'auteur a l'air d'avoir déserté le fil en se contentant d'un "si"...)
donc je ne pense pas le déranger. Enfin voilà, toutes mes excuses encore...

Pour me faire pardonner, une image toute moche !

Fonction linéaire quadratique multivariables


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