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Niveau autre
fonction méromorphe avec pôle dans Z
Posté par mariemarie
Bonsoir, voilà une question qui me pose problème:
Enoncé:
Donner un exemple de fonction méromorphe f:
{
} avec un pôle d'ordre 1 en chaque z
. Peut-on l'étendre à une fonction méromorphe de {}{}?
Alors comme on cherche des pôles dans , j'avais pensé à prendre quelque chose du type où [z] désigne la partie entière de z.
Mais on a un problème de définition de la partie entière car z vit dans
du coup je suis un peu à cours d'idée pour trouver un dénominateur annulant les entiers relatifs.
Pourriez-vous m'éclairer? Merci
Salut !
Oui ou encore plus simplement Pi/sin(Pi*z)
et bien entendu une telle fonction ne ce prolonge pas en une contion méromorphe sur CU{infinit} (puisqu'elle à une suite de pole qui converge dans C union l'infinit...)
de toute facon, les seuls fonctions méromorphe qui ce prolonge en l'infinit sont les fraction rationelle.
NB : le Pi au numérateur sert à rien, mais pour une raison qui m'échape j'ai voulu m'etre des résidu +/- 1... (allez savoir pourquoi...)
Merci Ksilver.
Ton idée me plaît bien.
Pour "l'extension", auriez-vous des exemples précis? Merci en tout cas.
Des exemples précis de quoi ?
On dit qu'une fonction ce prolonge en une fonction méromorphe sur C union l'infinit si f(z) et f(1/z) sont des fonction méromorphe. c'est le cas de toute les fraction rationelle, puisque f(1/z) est encore une fraction rationelle. en réalité on peut montrer que les fractions rationelle sont les seul fonctions à vérifier ceci mais on à pas bessoin de savoir cela ici : si f admet pour pole tous les entier, alors f(1/z) admet pour pole tous les 1/k k dans Z, et donc l'ensemble des pole admet un point d'accumulation : 0. donc f(1/z) ne peut pas etre méromorphe en 0 (car les pole d'une fonction méromorphe sont un ensemble discret...)