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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
fonction qui n'admet pas de primitive
Posté par jeprak34
Bonsoir,
J'ai un exercice à faire mais je sais pas trop me lancer (l'analyse complexe c'est pas mon point fort) :
Montrer que la fonction n'admet pas de primitive sur le disque pointé
Indication : une intégrale sur un lacet bien choisi. Utiliser la formule de Cauchy, ne pas faire de calculs.
Apparement il a détailler les étapes à suivre, mais comme je comprend pas bien la démarche j'aimerai que quelqu'un m'explique comment faire.
merci beaucoup 
Apparemment il a détaillé les étapes à suivre, mais comme je ne comprends pas bien la démarche j'aimerais que . . .
Bonjour jeprak34.
Effectivement, il faut connaître ce théorème :
Soit ouvert ce
et
. Les condition suivantes sont équivalentes :
1/ Il existe telle que g'=f
2/ Pour tout chemin régulier, fermé et tracé dans
, on a
Application avec sur
.
Posons .
On a par la formule de Cauchy où
est le cercle de centre 0 et de rayon 1/2.
Donc d'après le théorème ci-dessus, la fonction ne peut admettre de primitives sur
Bonjour,
Priam @ 14-04-2020 à 09:14
Apparemment il a détaillé les étapes à suivre, mais comme je ne comprends pas bien la démarche j'aimerais que . . .
Apparemment il a détaillé les étapes à suivre, mais comme je ne comprends pas bien la démarche j'aimerais que . . .
Dsl pour ces fautes mais j'ai écrit ce message très tard et après 9 heures de maths, donc vous comprendrez...
jsvdb @ 14-04-2020 à 14:53
Bonjour jeprak34.
Effectivement, il faut connaître ce théorème :
Soit
ouvert ce 
et )
. Les condition suivantes sont équivalentes :
1/ Il existe)
telle que g'=f
2/ Pour tout chemin
régulier, fermé et tracé dans , on a dz = 0)
Application avec = \frac{1}{z(z-1)})
sur -\{0\})
.
Posons = \frac{1}{z-1})
.
On a par la formule de Cauchy}{z}=2i\pi \tilde f(0)=-2i\pi \neq 0)
où est le cercle de centre 0 et de rayon 1/2.
Donc d'après le théorème ci-dessus, la fonction}{z} = f(z))
ne peut admettre de primitives sur 
Bonjour jeprak34.
Effectivement, il faut connaître ce théorème :
Soit
1/ Il existe
2/ Pour tout chemin
Application avec
Posons
On a par la formule de Cauchy
Donc d'après le théorème ci-dessus, la fonction
Merci beaucoup pour cette réponse car vous m'avez très bien éclairée, je n'aurais pas pensé à la petite "astuce" de poser 1/(z-1) sur 1/z
Bonsoir jsvdb, je réponds car c'est aussi de mes cours, pour l'équivalence que tu donnes il me semble qu'il faut que l'ouvert soit connexe ; peux-tu confirmer (pour avoir l'existence de chemin régulier entre tous points) ?
Bonsoir Kernelpanic.
Non, pas du tout besoin de connexité pour cette équivalence car le point 2/ dit : pour tout chemin fermé régulier on a bla bla; il ne demande pas d'avoir l'existence de chemin régulier entre tous les points.
Rappelle-toi qu'un ouvert O de est une réunion au plus dénombrable d'ouverts connexes.
Si donc un chemin fermé est tracé dans O, il l'est forcément dans l'une de ses composantes connexes.
Ex : prends deux disques ouverts disjoints de C dont la réunion U ne contient pas l'origine et considère la fonction définie par 1/z. Par ce théorème, cette fonction y admet des primitives. Alors que la 1/z définie sur n'importe quel ouvert dont 0 sera intérieur n'en n'admettra pas. C'est un résultat surprenant, mais ça, c'est le propre de l'holomorphie de nous sidérer.
Rebonjour jsvdb, merci de confirmer mon doute. Dans la preuve de mon cours, on demandait la connexité pour avoir la connexité par arcs réguliers (car espace vectoriel etc etc...), étant donné qu'en prenant z0 dans l'ouvert, on considérait la fonction qui à z associait l'intégrale le long d'un chemin régulier reliant z à z0 (ou l'inverse...).
Merci pour ces explications supplémentaires 
Bonne journée !