Bonjour

Ensuite, tu peux montrer que si f est surjective, l'implication est fausse, autrement dit il existe g et h telles que  f o g = f o h  et  gh

Par contre, peut-être que je me trompe, mais je ne suis pas convaincu de ta contradiction...

Bonsoir,
ce que tu as démontré est vrai :
si f est injective alors fog=foh g=h.

Mais je trouve ta démonstration peu convaincante et assez brouillonne. En particulier on ne voit pas clairement où est utilisée l'hypothèse « f est injective ».

La réciproque est fausse : il suffit de prendre pour F et G des ensembles à un seul élément et pour  E un ensemble ayant au moins deux éléments.
On a alors f non injective et fog=foh quelque soient g et h car il n'y a qu'une application de G dans F.

Merci de vos réponses !
En revanche, je peine énormément avec ce genre d'exercice donc au final je n'ai pas très bien compris mais ça ce n'est pas de votre faute.
Dû coup j'ai tenté une rédaction de réponse ( mais incomplète ) que je vous partage

Réponse: ( je n'ai pas mis les indices, je perds trop de temps avec ça...)

On pose E, F, et G des ensembles à un seul élément (x0 E,  y0 F, et u0 G ) .
On a g(u0) = x0 et h(u0)= x0 et f(g(u0)) = f(h(u0)) = y0. On obtient, ainsi, f o g = f o h avec f  injective ( car y0 a 1 antécédent ).
On a vu, ainsi, que si f est injective alors g = h

On pose F et G des ensembles à un seul élément ( y0 F et u0 G ) et  E un ensemble ayant au moins deux éléments ( x0 et x1 ).
On a g(u0) = x0 et h(u0)= x1 et f(g(u0)) = f(h(u0)) = y0. On obtient, ainsi, f o g = f o h avec f non injective ( car y0 a 2 antécédents donc f est surjective ).
On a vu que si f est non injective ( ou surjective ) alors g h

On en déduit ainsi que l'assertion suivante est vrai  : f o g = f o h g = h



  

Il faut faire attention avec ce qu'on cherche à démontrer

ce n'est pas le fait que f o g = f o h  =>  g=h

c'est le fait que c'est équivalent à f est injective

Au temps pour moi, je pense que je vais m'arrêter là. J'ai assez d'éléments pour répondre.
Encore merci pour vos réponses.

Tu fais des suppositions qui ne sont pas dans l'énoncé.

J'ai l'impression que tu n'as pas lu ton premier message ( plus vraisemblablement tu n'as pas compris l'énoncé ).

Citation :
Soit f : EF. Montrer que f est injective si et seulement si pour toutes applications g : GE et h : GE
                                f o g = f o h g = h

Bonjour

Soit f   une  application de E vers F .
  1.Supposons f injective .
       Soient g et h des applications d'un ensemble G vers E telles que f o g = f o h .
      Si t   H on a donc  f(g(t)) = f(h(t)) donc , puisque f est injective on a g(t) = h(t) .
      Ce ci prouve que g = h .

2.Supposons qu'inversement pour tout ensemble G et tout couple (g , h) d'applications de G vers E vérifiant  f o g = f o h  on ait g = h et montrons que f est injective .
    Supposons que ce ne soit pas le cas . Il existe donc a b dans E tels que f(a) = f(b) .
    Il s'agit de  trouver quelque chose de contradictoire et donc  de  trouver  G , g et h convenables  .
On n'a pas beaucoup le choix !
On prend G := { a , b } et  g :  G E définie par  g(a) = g(b) = a  , h : G E définie par  h(a) = h(b) = b .
On a  f o g(a) = f(a)  , f o g(b) = f(a)  et f o h(a) = f(b) , f o h(b) = f(b)
On a donc f o g = f o h  mais g h .
C'est bien contradictoire .

    

Bonsoir etniopal.
Le « pour tout ensemble G » ne figure pas dans l'énoncé.
Du moins pas dans l'énoncé tel que jacksparrow l'a écrit.

Bonsoir,

Merci etniopal pour cette réponse claire !
La correction de mon exercice a été donnée aujourd'hui.
Je vous la partage pour ceux que ça intéresseraient à l'avenir.

Correction:

Montrons la double implication suivante :

- f est injective          f o g = f o h g = h   ( )
- f o g = f o h g = h           f est injective    ( )

Prouvons :

Par contraposée on a,
                 g h f o g f o h
sachant f injective
Sachant que g et h ont le même ensemble de départ et d'arrivée, écrire g h revient à écrire,
                 x G | g(x) h(x)

Soit x fixé dans G
                g(x) h(x)
f injective signifie que : x₁ x₂ f(x₁) f(x₂)
Posons,
                g(x) = x₁  et  h(x) = x₂
Or x₁ x₂
Par conséquent,
                f(x₁) f(x₂)
donc f(g(x)) f(h(x))
donc f o g f o h


Prouvons :

Si f non injective alors il existe x₀ x₁ dans E tels que f(x₀) = f(x₁)
Soit  G = { a }
             g(a) = x₀ et h(a) = x₁
On a ainsi,
            ( f o g ) (a) = ( f o h ) (a) et g h
On obtient une contradiction donc f est injective

Merci de votre attention

La « preuve » de me semble suspecte.

verdurin bonjour !
L'énoncé est   "....pour toutes applications g : G E et h : G E …. "  .
Comme une application est un triplet ( X , Y , u) où X , Y sont des ensembles et u un "procédé" qui permet d'associer , à tout x de X ,   un (seul) élément de Y , j'ai pensé que l'énoncé devait être corrigé en    "...pour toute couple d' applications ( (G , E , g)   , (G , E , h) ) …."   .
C'est ce que la correction confirme .