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Formule des résidus (correction)

Posté par
NsSommes1 22-05-10 à 12:06

Bonjour à tous.
Je suis en train de faire un sujet d'examen et une réponse me perturbe.

On définit C comme étant un disque  de centre O et de rayon 1 parcouru une fois dans le sens positif.
On me demande de calculer  \Bigint_C\frac{dz}{z^2-3z+1}

J'ai utilisé la formule des résidus et je trouve 0. Ce qui me perturbe car en utilisant cette formule de n'ai jamais trouvé en 0 comme réponse.

J'ai calculer les pôles de f(z) = \frac{1}{z^2-3z+1} et je trouve \alpha = \frac{3+sqrt5}{2}

\beta = \frac{3-sqrt5}{2}

La question que je me pose (et peut être est ce la ma faute)est : est ce que ces 2 pôles appartiennent au domaine élémentaire C ?

Dans un premier temps j'ai dit oui donc par la formule des résidus j'obtiens I = 2i(1/sqrt(5) - 1/sqrt(5)) ce qui donne 0

Or il me semble que seul appartient à C donc la solution finale serait \frac{-2i\pi}{sqrt5}

Merci pour vos réponses

Posté par
NsSommes1re : Formule des résidus (correction) 22-05-10 à 13:48

je me permets de vous mettre la suite de l'exercice car je bloque aussi

pour k et N des entiers tels que 0 k < N je dois trouver la formule suivante :

\frac{1}{2i\pi}\Bigint_C\frac{(1+z)^N}{z^{k+1}}dz = C_N^k

j'ai posé f(z)=(1+z)N qui est holomorphe sur C et je l développe en série entière.
Je cherche ces coefficients A et donc par deux formules du cours je trouve que :

A = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{N!}{(N-k)!}   et aussi on a que :

A = \frac{1}{2i\pi}\Bigint_{C}\frac{(1+z)^N}{z^{k+1}}dz

Posté par
NsSommes1re : Formule des résidus (correction) 22-05-10 à 13:51

ahh non j'ai mal recopier ^^ il manque le factoriel k au dénominateur dans la première formule pour A donc ca fonctionne ^^ pour cette question la je viens de trouver. ^^

et mnt je dois prouver que C2nn <= 4n la je bloque

Posté par
cafeadictore : Formule des résidus (correction) 22-05-10 à 13:52

Bonjour,

en effet, seul \beta est dans C (|\alpha|=\alpha=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\ge \frac{3}{2}+1>1)

Posté par
cafeadictore : Formule des résidus (correction) 22-05-10 à 14:01

Pour la suite, une première idée (mauvaise) serait de voir ce que donne la formule de Stirling. La bonne est à mon avis de calculer autrement le membre de droite de l'identité que tu as établi juste avant (réidus??)

Posté par
NsSommes1re : Formule des résidus (correction) 22-05-10 à 15:47

je n'ai pas compris ce que tu voulais me faire faire ^^ dsl


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