Plus précisément, sa classe est nulle (mais on précise toujours presque partout).

Kaiser

d'accord, merci

pour revenir aux groupes quotients, à partir du moment où G est un groupe, et H un groupe distingué de G, je peux quotienter G par H via la relation d'équivalence xRy <=> c'est bien ça ?

oui !

Kaiser

Merci.

Kaiser, aurais-tu sous la main un exo ( abordable ) qui parle de sous groupes distingués, ou groupes quotient, groupe fini etc ?

je cherche !

Kaiser

Merci.
Pas un truc trop bourrin parce que je suis vraiment au début là

OK !
voici un exo pour essayer de te familiariser avec les quotients.
Soit G un groupe et H le sous-groupe de G engendré par les éléments du type (un tel élément s'appelle un commutateur).
Montrer que H est un sous-groupe distingué de G et que est abélien.
Pour information : ce groupe quotient s'appelle l'abélianisé de G.

Kaiser

juste un petit truc : je veux montrer que pour tout a, l'application f, de G dans G qui a x associe est un automorphisme.

Je vais déjà montrer que c'est un endomorphisme : en effet, f(xy)===.

De plus f est injective car entraine x=y en composant à droite et à gauche par e et a^-1.

Il me reste à montrer qu'elle est surjective, c'est ça ?

Merci Kaiser, je vais chercher ça

pour revenir aux groupes quotients, à partir du moment où G est un groupe, et H un groupe distingué de G, je peux quotienter G par H via la relation d'équivalence xRy <=>  c'est bien ça ?

Non !

A partir du moment où G est un groupe et H un un groupe non nécessairement distingué, tu peux quotienter G par H.
Mais si H est distingué, alors G/H a une propriété supplémentaire non négligeable ... c'est un groupe.

merci otto.

Donc pour reprendre, si G est un groupe, et H un groupe distingué de G, je peux quotienter G par H via la relation d'équivalence et G/H est alors un groupe quotient.

Je peux donc toujours quotienter par un groupe non nécessairement distingué, mais G/H ne sera pas forcément un groupe. C'est bien ça ?
Mais H dois forcément etre un sous-groupe de G ou pas ?

Oui.
Si tu quotientes par quelque chose qui n'est pas dans G ca n'a pas de sens.
En fait on quotiente par une relation d'équivalence en général (par définition).
Ce que l'on appelle quotienter par le groupe (ou l'idéal) H (ou I) c'est quotienter par la relation
aRb ssi ab^-1 dans H (resp I).

Je ne vois pas bien quel sens on donnerait à cette relation si H n'était pas une partie de G.
a+

D'accord.

Merci beaucoup.

Là je dois me saouver mais je ferai ton exo dans la nuit kaiser

Bonne journée à vous 2 !

Salut Rouliane
Voici un résultat classique qui colle bien avec tes nouvelles passions.

Soit f:GG' un morphisme de groupes. Vérifier que ker f est un sous-groupe distingué de G et construire un isomorphisme de G/ker f sur Im f.

Merci je vais faire ça demain parce que là je suis claqué, je viens de rentrer

Ca commence à beaucoup me plaire tout ça

retour de Lens avec une victoire en poche

Ok, je comprends mieux !

Ca faisait longtemps hein

En effet

Bon, je commence par l'exo de Kaiser, mais je pense que je vais un peu lutter n'étant pas à l'aise avec la notion "d'engendré" ...

Ici, ça veut dire que tout les éléments de H s'écrivent comme produit d'éléments tu type ?

Oui si G=<S> avec S une partie de G alors tout élément de G s'écrit comme produit d'éléments de S ou d'inverses d'éléments de S.

Ici tu peux voir facilement que l'inverse d'un commutateur en est un lui même.

oui, j'avais remarqué, en effet.
Merci.

Ici, je dois revenir à la définition, à savoir montrer que xH=Hx pour tout x dans G ( ou alors xHx^-1 H ? )

Passe par gHg-1 est dans H,tu prend x dans H et g dans G et tu montres que:

gxg-1 est dans H.

ok merci.
Donc un élément x de H sécrit
Et il faut que je montre que est dans H.
C'est ça ?

Pas tout à fait comme tu l'as dit au-dessus il s'écrit comme produit d'éléments de cette forme mais un produit de commutateurs n'est pas forcément un commutateur.

ah d'accord, je vois le problème.
Je réfléchis

Je vois pas trop comment faire.
Il faut que je montre que gxg-1 est dans H, j'essaye pour ça d'arriver à une forme en vain ...

bonjour à tous

Rouliane > utilise le fait que

(je sais que j'avais dit que c'était le théorème fondamental de l'analyse mais apparemment, il y a aussi des applications à l'algèbre )

Kaiser

C'est ce que j'ai voulu faire, "glisser" du gg-1 dans l'expression, je vais revoir ça.

Pour info, le groupe engendré par les commutateurs xyx^{-1}y^{-1}, est appelé le groupe dérivé de G, il est au coeur des problèmes de résolubilité des groupes et intervient de fait fréquemment en thorie de Galois (les équations de degré supérieurs à 5 ne sont pas en général résolubles par radicaux car le groupe dérivé de An est lui même)

Merci pour ces précisions.

Si quelqu'un pouvait m'aider car j'y arrive toujours pas

Il suffit d'étudier la classe d'un commutateur!! Ou de manière moins abrute calcule la classe de xyx^{-1}y^{-1} dans G/H, qu'en déduis tu?

Pour l'instant j'en suis juste à montrer qu'il est distingué, j'ai pas besoin encore de m'intéresser au groupe quotient, si ?

Si est un automorphisme de G alors essaie de prouver que ...

Je laisse un peu de coté l'exo de kaiser car j'y arrive pas ...

Pour l'exo de Camélia, pour montrer que kerf est un sous groupe distingué, je montrer que x.kerf.x-1 est inclus dans kerf.

J'appelle e l'élément neutre de G et e' l'élément neutre de G'.
Soit kerf, .
On a  : .

C'est juste ou pas ?

Bonsoir Rouliane

oui, c'est correct !

Kaiser

J'ai essayé de continuer l'exo de Camélia.
J'ai déjà essayé de voir comment s'écrivent les classes d'équivalence.

Je dirais que, si on note la classe de x dans G, on a

Je sais pas si c'est juste, ni si ça va me servir à construire ce morhpisme, mais bon, je commence par ça

Merci Kaiser

Pour l'isomorphisme, je me lance ( avec 99,99% de chances de me planter )

Je dirais que l'application de G\Kerf dans Imf qui à x associe f(x).

c'est faux, hein ?

f n'est pas à priori défini sur G/Ker f il faut prendre un représentant.

oui c'est vrai. Une petite indication ?

Rouliane > en gros, à tu associes f(x) mais il faut montrer que ce truc est bien défini (que ça ne dépend pas du choix du représentant).

Kaiser

Merci.

je pense avoir bien compris comment ça marchait cette histoire de représentant, mais là je voi spas comment le manipuler.

Quand on définit l'addition dans Z/nZ : il faut montrer que ça ne dépend pas du choix des représentant x et y.

Si j'ai bien compris celà, ça veut dire que, si on a xRy et x'Ry', il faut que x+yRx'+y' ( que x+y soit dans la même classe que x'+y' )

est ce que déjà j'ai bien compris ça ?

Oui c'est ça.
Ici il faut que tu montres que si alors f(x)=f(y)

D'accord.
Donc si je comprends bien, je pars de =.
On a alors ax=by où a et b sont dans Ker(f). Donc f(ax)=f(by) car f est une application, c'est à dire f(a)f(x)=f(b)f(y), d'où f(x)=f(y) car f(a)=f(b)=e'.

Mais je vois pas à quoi ça me sert