Bonsoir,

a-b multiple de n ca revient à dire en notation multiplicative ab^-1 est dans nZ ou ici H=nZ.

en fait j'ai compris un peu de chose

aRb <=> a-b multiple de n est évidemment du type xRy <=>

Oui Cauchy, je viens de m'en rendre compte
Mais merci quand même.

N'étant pas très familier avec l'algèbre, je vois souvent xy comme un produit, alors que c'est x*y où y peut etre la loi +.

Sinon, je pense avoir un peu près compris en relisant mon message et avec mes 5min de recul ( )  mais je vois toujours pas l'utilité de ça.
Pourquoi on a voulu par exemple définir le groupe quotient Z/nZ ?
Pour s'en servir pour quoi ?

C'est pas une décision facile à annoncer, mais je me dois de le faire : je commence à kiffer l'algèbre !

Moi qui ne vivait que d'intégrales et de séries, je commence à apprécier quelques parties d'algèbre.

fin du coming-out

Ahah


Bien quotienter ca te permet de ranger les éléments par classes c'est parfois plus commode ici étudier Z/nZ permet d'en déduire des informations arithmétiques plus facilement en travaillant dans Z/nZ.

Après tu peux quotienter pour rendre ton groupe abélien etc..

ok, merci

Par exemple un truc bete en utilisant Lagrange dans (Z/pZ)*  avec p premier tu retrouves petit Fermat,  vu que tout élément est d'ordre un diviseur de p-1 donc tu as a^p-1=1 ca revient à dire que p/a^(p)-a.

ah oui, tiens !
je note

Mais a est dans Z/pZ et pas dans Z, non ?

Pas mal hein avoue Fermat par les groupes

Allez généralisation si n est quelconque et a premier avec n alors a^(phi(n))=1 dans Z/nZ

Je réitère ma question :a est dans Z/pZ et pas dans Z, non ?

Oui mais c'est pas gênant tu pars de a dans Z tu regardes sa classe abarre et tu sais que:

(abarre)^(p)=abarre dans Z/pZ donc par définition que:

p/(a^p-a).

C'est comme si tu partais dans le cas général de a dans un groupe G,H un sous-groupe.

et tu sais que a est dans la meme classe que b c'est à dire ab-1 est dans H vu comme on a défini notre relation d'équivalence.

ah mais oui, bien sur !
Je comprends bien mieux comme ça : on passe en fait d'une relation de classe d'équivalence, à la relation de congruence

Oui,attention ici j'ai utilisé le groupe mais avec la multiplication mais pour que ce soit un groupe on ne considère que les éléments inversibles donc si p premier tous sauf 0 c'est pour cela que l'ordre est p-1

oui, j'avais bien compris, (Z/pZ)*=(Z/pZ)\{0} car p premier ( donc c''est un corps, comment je me la pète en algèbre maintenant ) donc on a exclu la classe 0.
Je m'étais posé la question au début du p-1 et après mure réflexion, j'avais réussi à comprendre

Oui un corps et si tu veux te la surpéter tu peux dire même que son groupe multiplicatif est cyclique

arrete je vais prendre la grosse tête !

cyclique j'ai pas trop vu encore, c'est 2 pages plus loin dans le Gourdon

Tiens exercice,montrer que tout groupe d'ordre p premier est cyclique.

M'enfin le résultat que je t'ai dit est un poil plus compliqué.

Un groupe est cyclique s'il est engendré par un élément d'ordre fini.

Je maitrise pas trop : cyclique, c'est bien engandré par un seul élément ?
C'est à dire qu'à partir de cette élément, je peux retrouver tous les autre.

Est ce que je peux dire que le groupes est constitué de {e,a,a²,...,a^(n-1)} ?

Oui c'est bien cela mais il peut il y avoir plusieurs générateurs.

Mais il existe un élément tel que G=<a> ca revient à dire ce que tu as écris .

ah d'accord, je savais pas qu'il pouvait y avoir plusieurs générateurs

On peut déjà dire que a^p=e, on aura donc a^(p+1)=a etc ... mais je pense pas que c'est suffisant ( d'autant que j'utilise pas la primalité de p)

Bien exemple avec notre bon vieux Z/nZ,tout élément a tel que a est premier avec n est un générateur.

Oui mais tu sais pas que tous les éléments sont de la forme une puissance de a,enfin tu réponds bien à mon exo tout groupe d'ordre p premier est cyclique?

ah oui, je vois.
Il faut donc que je montre qu'ils sont tous de la forme une puissance de a ? ( pour en déduire le résultat en utilisant l'argument de mon précédent message ? )

Oui mais bon a est quelconque tu as un groupe il faut trouver un générateur,indication utiliser Lagrange

oui, je sens bien qu'il faut utiliser Lagrange, ce que j'ai dis plus haut (a^p=e ) est d'ailleurs une conséquence de Lagrange,) mais je vois pas trop comment.

en gros, il faut que je trouve a c'est ça ?

En gros prend a un élément quelconque différent du neutre que peux tu dire de son ordre?

c'est 1.

ou p.

Oui mais j'ai précisé différent du neutre.

donc p

Oui et donc ?

ben ça je l'avais déjà dit au début, mais je vois pas quoi faire après

en fait je vois pas ce qu'il faut faire.

Et donc vu que le groupe est d'ordre p et que tu as un élément d'ordre p nécessairement G=<a>.

En effet {e,a,a^2...,a^p-1} sont tous distincts et il y a p éléments.

A toi de justifier pourquoi sont-ils distincts?

Oui c'est l'idée sinon a serait pas d'ordre p.

S'ils etaient pas distincts on aurait a^k=a^l avec l<k<p

ok merci.
j'ai appris plein de trucs, c'est cool !

De rien

Les structures quotient apparaissent naturellement un peu partout en maths.
Par exemple, toi qui "kiffe" séries et intégrales, tu dois savoir que si tu considères l'ensemble des fonctions intégrables (resp. de puissance p>1 intégrable), tu n'as pas un espace vectoriel normé. Pour le normer, il faut quotienter par la relation aRb si et seulement si |a-b|=0.
Tu gagnes une norme, mais tu perds en précision. Tu ne travailles plus avec des fonctions, mais seulement avec des classes de fonctions.

Pour ce qui est des groupes, tu as un groupe très classique (un corps en fait) qui est obtenu par quotientage.
Tu considères R[X] que tu quotientes par l'idéal engendré par le polynôme p(x)=x^2+1

Il est naturel de se demander quelles conditions avoir sur un sous groupe H de G pour que G/H reste un groupe. Il est également naturel de se poser d'autres questions. Par exemple de savoir si tu peux "remonter" la chaîne. Tu peux également avoir beaucoup d'informations sur la nature du groupe ou l'idéal de départ, en étudiant le quotient qu'il engendre.

Etc.
En maths, quand on commence à définir une notion, on aime savoir ce que ca implique....

Salut otto,

toi tu kiffes définir C par quotientage

C'est la façon la plus belle façon de définir C.
Il y'a une façon matricielle plutôt sympa aussi.

Merci Otto pour ces précisions

Je pense que je comprendrais mieux au fur et à mesure que je vais avancer dans le cours.

par contre, je comprends pas trop pourquoi il faut quotienter l'ensemble des fonctions intégrables pour le normer.

Disons que je suis pas très à l'aise avec la norme, dans le sens où je sais pas trop quand on peut normer un ensemble, pourquoi, etc ?

Merci d'avance

Bonjour

Rouliane > car une fonction intégrable dont la valeur absolue est d'intégrale nulle sera nulle mais uniquement presque partout.

Kaiser