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Posté par
Rodrigore : groupes quotients 04-04-07 à 01:27

C'est un peu tordu comme démo mais c'est correct (on pouvait aussi dire \overline{x}=\overline{y} donc xy^{-1}\in ker f et donc f(x)=f(y))

Donc tu peux construire une application f* tel que f*(\overline{x})=f(x) ou x \in \overline{x} quelconque! Cette application est bien définie, il est facile de vérifier que c'est un isomorphisme de G sur G/ker f

Posté par
Rodrigore : groupes quotients 04-04-07 à 01:28

Heu plutot un isomorphisme de G/kerf dans Im(f) (je commence à fatiguer...)

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 01:35

D'accord, merci. Il faut penser à toujours regarder, quand on manipule des classes d'équivalence, que ça ne dépend pas du choix du représentant, et j'oublie tout le temps.
Je vais essayer de justifier que c'est bien un isomorphisme.

Sinon, la justification de xy^{-1}\in \ker(f) \Rightarrow f(x)=f(y), qui n'est pas triviale pour moi ( ) c'est bien ça :

3$ \fbox{xy^{-1}\in \ker(f) \Rightarrow f(xy^{-1})=e' \Rightarrow f(x)f(y^{-1})=e'}.

Or \fbox{f(y^{-1})=f(y)^{-1}}. D'où le résultat.

C'est ça ?

Merci en tout cas !

Posté par
Rodrigore : groupes quotients 04-04-07 à 01:37

Oui c'est ça!

Bonne nuit

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 01:37

Ok !

Bonne nuit à toi aussi

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 01:45

Pour justifier que c'est un isomorphisme, je dis déjà que c'est un morphisme surjectif, et pour montrer l'injectivité, je dis que :

3$ \fbox{f(x)=f(y) \Rightarrow f(x)f(y)^{-1}=e' \Rightarrow f(x)f(y^{-1})=e' \Rightarrow f(xy^{-1})=e' \Rightarrow xy^{-1}\in \ker(f) \Rightarrow xRy \Rightarrow \bar{x}=\bar{y}}

That's it ?

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 08:36

Posté par
kaiser Moderateurre : groupes quotients 04-04-07 à 08:45

Bonjour Rouliane

oui, c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 09:36

Bonjour Kaiser,

Merci ! Je me replonge dans ton exo ...

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 09:44

Kaiser tu pourrais me dire où "glisser" le gg^-1=e  ?
Je vois vraiment pas.

Posté par
kaiser Moderateurre : groupes quotients 04-04-07 à 10:44

par exemple, on peut dire que \Large{xy=x.g.g{-1}.y.

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteurre : groupes quotients 04-04-07 à 15:23

Salut Rouliane
Pour l'exo c'est OK. Pour bien comprendre cette histoire de "ça ne dépend pas du réprésentant" voici une manière de voir: La relation d'équivalence R sur un ensemble E de gens est A R B si et seulement si A et B ont le même age. La classe de A est donc l'ensemble des gens nés dans la même année. Je peux définir sur E/R l'application f(cl(A))=2(age de A).
Mais imagine que je veuille définir f(cl(A))=pointure de A!

Posté par
Rodrigore : groupes quotients 04-04-07 à 15:57

Je pense qu'il est plus simple de prouver que si \sigma est un automorphisme de groupe alors \sigma[a,b]=[\sigma a ,\sigma b] en particulier pour un automorphisme intérieur. Si tu tiens absolument à le faire à la main explicite la relation \sigma[a,b]=[\sigma a ,\sigma b] pour \sigma un automorphisme intérieur.

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 23:40

Rodrigo c'est du chinois ce que tu racontes pour moi

Merci Camélia, mais j'avoue que j'ai pas compris la subtilité de la pointure

Posté par
Cauchyre : groupes quotients 04-04-07 à 23:44

On peut avoir le même age et pas la même pointure donc ca dépend du représentant

Posté par
Roulianere : groupes quotients 04-04-07 à 23:47

ah ok, merci !

Posté par
Roulianere : groupes quotients 05-04-07 à 00:28

On montre de la même façon que f(A) est isomorphe à A/Ker(f) ?

Dans ce cas là faudrait montrer que kerf est un idéal de A si j'ai bien compris la façon de "quotienter" un anneau ?

Posté par
Cauchyre : groupes quotients 05-04-07 à 00:45

Oui on quotiente par un idéal c'est cela

Posté par
Roulianere : groupes quotients 05-04-07 à 00:45

merci j'essaierai de faire ça.

Posté par iaminiledemath (invité)groupe quotient:réponse à rouliane 10-05-07 à 00:01

salut
pour le passage de  Z à  Z/nZ
l'exitence d'une relation d'équivalence sur Z veut dire l'existence d'une partition de Z en classes
1)on démontre que le nombre des classes est n où n
est le nb défini ds la relation
aRb <=>a-b multiple de n
2) la compatibilité sert à signifier qu'on peut définir une opération sur ces classes.
cl(x)+cl(y) est une classe
i.e
étant données 2 classes
en prenant un élt qque de cl(x) & un élt qque de cl(y)
leur somme est tjrs ds la même classe qui est cl(x+y)
(x+multiple de n)+(y+multiple de n)=(x + y +multiple n)
autrement par ce biais on leur associe une classe & une seule
on peut alors définir une loi interne sur l'ens des classes(ens quotient)
3)on deduit comm ass elt neutre et elt sym
donc structure degr
4)on démontre que la classe de e (élt neutre) est un groupe distingué qui est nZ
C POUR CA qu'on ecrit Z/nZ au lieu de Z/R
car c'est ce groupe qui a permis de définir cette relation.
intuitivement
le groupe nZ partage Z en n classes qui sont
    1):nZ.................CLASSE 0    aussi classe n
    2):1+nZ...............CLASSE 1
    ............................


    n): (n-1)+nZ).........classe n-1

Posté par
Roulianere : groupes quotients 10-05-07 à 00:03

Merci pour toutes ces précisions !

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