Bonjour,
Je cherche à construire une application biholomorphe entre :
{ }
et
{ }
Je suis donc parti de A, et d'une vision purement géométrique, je me suis dit que si je parvenais à "doubler" mon angle, et à dilater mon module, je pourrais obtenir H. Pour ce second point, j'ai cherché comment envoyer ]0,1[ sur ]0,[ : à l'aide de ou de , par exemple
Mais alors, les fonctions que j'obtenais ne vérifiaient pas les équations de Cauchy-Riemann ...
Et à l'inverse, si j'écris ma fonction holomorphe f, de A dans H, comme le produit de deux fonctions :
f(z) = g(r) * e2i (avec r = |z| et = Arg(z) )
Alors les équations de Cauchy-Riemann me donne la condition :
i*r*g'(r)*e2i = 2*i*g(r)*e2i
Ce qui revient, pour peu que g'(r) soit non nul, à avoir :
Donc g(r) = r² * ec avec c une constante d'intégration. Or, une fonction de ce type n'est pas solution de mon problème (de ]0,1[ dans ]0,[ ) !
Donc maintenant, je suis un peu perdu, car tout ce que je vois, c'est essayer de construire une application qui agirait "simultanément" sur mon argument, et mon module. Mais je n'ai vraiment pas l'habitude de construire des applications de ce genre ...
Quelqu'un aurait-il une petite indication à me donner ?