|z| n'est pas holomorphe.
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Niveau maths spé
Holomorphe
Posté par Rana
Bonjour, j'ai une question
On vient de voir que le Log complexe dans la determination principale est holomorphe sur 
\
_ alors
On peut deduire que : Arg(z)=1/i [Log(z)-ln(|z|)] est holomorphe comme étant composée de fonction holomorphe.
Or Arg(z)=arctan(y/x) ne verifie pas les conditions de Cauchy-Riemann donc Arg(z) n'est pas holomorphe .
Pouvez-vous m'expliquer ce qu'il y a d'incorrecte dans ce qui precède?
Merci d'avance.
Bonjour,verdurin
C'est pour dire que ln(|z|) n'est pas holomophe??
Donc parfois l'addition de 2 fonctions non holomorphes peut donné une fonction holomorphe?
Bonjour Rana
Si tu regardes bien, toute fonction holomorphe a une partie réelle P et une partie imaginaire Q qui sont, elles, et sauf si elles sont constantes, non holomorphes. Il en va de même pour iQ.
Donc, oui, Une fonction holomorphe peut être somme de deux fonctions non holomorphe. En revanche la somme de deux fonctions holomorphes est forcément holomorphe
Il y a même plus simple :
F fonction non holomorphe
G holomorphe
telles que G - F est non holomorphe
Alors G = F + (G - F) est somme de deux fonctions non holomorphes.
On peut voir aussi que 0 = F - F qui est holomorphe.
Si tu considères la détermination principale du logarithme dans alors,
comme s'écrit de façon unique
, on a :
Et si avec
si
alors
Si et
, alors on vérifie aisément les équations de Cauchy-Rieman.
La fonction ainsi définie est holomorphe et vérifie bien
. Donc
Maintenant, la tentation est d'écrire .
La fonction est bien holomorphe.
Mais ne l'est pas pour la simple raison que les équations de Cauchy-Riemann n'y sont pas vérifiées et l'on sait que, vérifier les ECR et être holomorphes sont deux choses équivalentes.
Or, la somme d'une holomorphe avec une non holomorphe est non holomorphe. Il s'ensuit que n'est pas holomorphe.
Évidemment, il n'y a pas besoin de faire ce raisonnement pour le montrer; le simple fait que soit une fonction à valeurs réelles, non constante, suffit pour dire qu'elle est non holomorphe.
Mais comme tu cherchais ce qu'il y avait d'incorrect dans ton raisonnement, alors je l'ai fait.