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Holomorphie

Posté par
fusionfroide 06-02-07 à 19:13

Salut

Qu'est-ce qui permet d'affirmer que 4$F \in H(\Omega)\Longrightarrow F^'\in H(\Omega)

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 06-02-07 à 19:17

Bonjour fusionfroide

ça vient du fait que toute fonction holomorphe est analytique ensuite, on utilise que tout fonction de z développable en série entière est holomorphe.
En effet, si F est développable en série entière alors F' est développable en série entière donc holomorphe.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 06-02-07 à 19:20

Salut kaiser et merci

Est-ce qu'on parle plutôt de fonctions holomorphes ou de fonctions analytique ?  (juste une question de vocabulaire)

Merci

PS : j'aurai une dernière question ensuite

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 06-02-07 à 19:23

Citation :
Est-ce qu'on parle plutôt de fonctions holomorphes ou de fonctions analytique ?  (juste une question de vocabulaire)


Euh même si on sait que c'est pareil

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 06-02-07 à 19:24

En fait c'est la même chose sauf que dire analytique est plus général.
Je m'explique :
Le terme holomorphe est réservé aux fonction de la variable complexe.
analytique peut être utilisé pour les fonctions de la variable complexe mais peut aussi être utilisé pour les fonctions de la variable réelle (auquel cas, ça veut dire développable en série entière).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 06-02-07 à 19:28

Citation :
Le terme holomorphe est réservé aux fonction de la variable complexe.


Je suis fixé maintenant

Merci

Sinon, pour la dernière question, on me demander d'évaluer 4$\rm I(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{\bar{f(z)}}{z-a}dz avec 4$|a| \neq 1

Aurais-tu une piste ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 06-02-07 à 19:30

on intègre sur quoi ? n'importe quel lacet qui entoure a ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 06-02-07 à 19:31

et f est holomorphe où ça ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 06-02-07 à 19:32

Pardon, 4$\gamma(t)=exp{it}, U un ouvert de C contenant 4$\mathbb{D} et 4$f \in H(U)

De plus, t est entre 0 et 2Pi

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 08-02-07 à 00:22

Re fusionfroide

Je pense avoir réussi à calculer cette intégrale.
D'abord, je pensais utiliser la formule de Cauchy mais je n'ai pas réussi.
J'ai donc fait les calculs à la main (en faisant des développements en série entière en distinguant les cas |a| < 1 et |a| > 1).

Pour ma part, je trouve que

\Large{I(a)=\bar{f(0)}} si |a| < 1

et

\Large{I(a)= -\bar{f\((\bar{a})^{-1}\)}} si |a| > 1

(à vérifier)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 08-02-07 à 20:22

Merci kaiser

j'ai trouvé dans le Tauvel cet exo corrigé à la BU...mais je n'ai pas mémorisé les résultats d'autant plus que je n'avais pas vu ta réponse

J'irai voir la semaine prochaine.

A+

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 08-02-07 à 20:32

OK !

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 22:00

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 22:01

On l'a corrigé en cours

Tu veux les résultats ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 22:03

je veux bien !

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 22:06



4$I(a)=\bar{f(0)}-\bar{f(\frac{1}{\bar{a}})} si 4$|a|>1

4$I(a)=\bar{f(0)} sinon
Note bien :

Le prof a traité cet exo avec les résidus alors qu'on ne l'a pas encore vu, et deplus, il a précisé de vérifier ces calculs

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 22:08


donc en fait, j'étais pas si loin du résultat !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 22:10

Bah non, lui trouve un terme en plus, c'est tout : mais il a peut-être fait une erreur

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 23:19

En refaisant le calcul, je retrouve le résultat de ton prof.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 23:30



Vive lui

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 23:31

:D

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 23:35

Voilà comment il a procédé :

On arrive par quelques calculs à :

4$\bar{I(a)}=\frac{-1}{2\pi i\bar{a}}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z(z-\frac{1}{\bar{a})}

Le gros problème c'est qu'il utilise ensuite les résidus, alors qu'on ne sait pas ce que c'est !!!

Il dit que si 4$|\frac{1}{\bar{a}}| >1, alors 4$\bar{I(a)}=\frac{-1}{\bar{a}}res_{z=0}

Pourrais-tu me l'expliquer sans les résidus ? Est-ce possible ?

Merci beaucoup en tout cas .

PS : si tu veux les calculs préliminaires, je te les mettrai

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 23:36

oui ça marche sans les résidus (d'ailleurs, c'est comme ça que j'ai fait).
Je poste un nouveau message pour t'expliquer la méthode.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 23:37

Ok merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 17-02-07 à 23:53

Par définition de l'intégrale sur un chemin, on a :

\Large{I(a)=\frac{1}{2i\pi}\bigint_{0}^{2\pi}\frac{\bar{f(e^{it})}}{e^{it}-a}ie^{it}dt=\frac{1}{2\pi}\bigint_{0}^{2\pi}\frac{\bar{f(e^{it})}}{e^{it}-a}e^{it}dt}

On a donc :

\Large{\bar{I(a)}=\frac{1}{2\pi}\bigint_{0}^{2\pi}\frac{f(e^{it})}{e^{-it}-\bar{a}}e^{-it}dt}

Or on a :

\Large{f(e^{it})=\bigsum_{n=0}^{+\infty}b_{n}e^{int}}

et

\Large{\frac{e^{-it}}{e^{-it}-\bar{a}}=-\frac{e^{-it}}{\bar{a}}\frac{1}{1-\frac{e^{-it}}{\bar{a}}}=-\bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-int}}{\bar{a}^{n}}}

Ainsi, on a :

\Large{\bar{I(a)}=-\frac{1}{2\pi}\bigint_{0}^{2\pi}\(\bigsum_{n=0}^{+\infty}b_{n}e^{int}\)\(\bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-int}}{\bar{a}^{n}}\)dt}

et on "voit" alors que ça vaut :

\Large{\bar{I(a)}=-\bigsum_{n=1}^{+\infty}b_{n}\(\frac{1}{\bar{a}}\)^{n}=-(f(\frac{1}{\bar{a}})-f(0))=f(0)-f(\frac{1}{\bar{a}})}

Finalement, on trouve que :

\Large{I(a)=\bar{f(0)}-\bar{f(\frac{1}{\bar{a}})}}

Kaiser

P.S : le "on voit" peut se démontrer à l'aide de Parseval.

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 17-02-07 à 23:59

Wouahh !! C'est très joli quand même le latex

Sinon, Parseval dit bien :

4$\int_0^{2\pi} |f(z_0+r exp{it})|^2\frac{d\theta}{2\pi}=\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^2r^{2n}

Ici, tu prends quoi ?

Posté par
Cauchyre : Holomorphie 18-02-07 à 00:03

Tu vois

Y a des bouquins faut voir toutes les 3 lignes c'est sympa

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:04

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:09

Citation :
Wouahh !! C'est très joli quand même le latex


:D

Sinon, pour parseval, je ne l'utilise pas comme ça.
j'utilise le résultat suivant.
Si f et g sont deux fonctions holomorphes dont le développement en série en un point \Large{z_{0}} ont un rayon de convergence strictement supérieur à r, alors :

4$\int_0^{2\pi}%20f(z_0+r%20exp{it})\bar{g(z_0+r exp{it})}\frac{d\theta}{2\pi}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}\bar{b_{n}}r^{2n}

ça se montre en appliquant Parseval aux fonctions f+g et f-g et en faisant la différence entre les deux.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:10

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:10

D'accord ça va mieux tout de suite : en tout cas je le garde en mémoire

En tout cas merci kaiser pour m'avoir consacré tout ce temps

Bonne nuit, je commence à baver sur le clavier

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:11

C'est drôle je ne l'avais jamais vu sous cette forme

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:13

Mais je t'en prie !

Citation :

Bonne nuit, je commence à baver sur le clavier


Comme ça ?



Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:14

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:16

Citation :
C'est drôle je ne l'avais jamais vu sous cette forme


Elle peut-être très utile. La preuve !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:30

Une dernière question : est-ce qu'on peut appliquer la formule de Cauchy à f^2, f^3 ...

Parce que je n'ai pas vu de telles formules je pense

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:31

ce sont les dérivées ou bien les puissances de f ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:33

Pardon, ce sont des puissances

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:38

Sinon, tu parles de la formule de Cauchy classique ou généralisée ?
Dans les deux cas, on peut mais dans le deuxièmes, exprimer les dérivées successives de ces fonctions n'est pas forcément facile (ou peut-être avec une récurrence).
Mais je ne sais pas si ça donne des trucs intéressants.
Pourquoi cette question ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:43

Citation :
Pourquoi cette question ?


Je dois montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1)4$|P(0)|=|Q(0)|

2)4$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |P(r exp{it})|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |Q(r exp{it})|^2dt

Il y a une indication : appliquer cauchy à 4$f^2, rien de plus.

PS : P partie réelle et Q partie imaginaire

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:49

En appliquant la formule de Cauchy et en écrivant f=P+iQ et en explicitant tous les calculs, tu devrais pouvoir t'en sortir.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:50

Ok très bien je verrai cela demain

Donc j'applique juste Cauchy à f, et ensuite je pense qu'il faudra isoler partie réelle et partie imaginaire ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 00:52

il faut l'appliquer à f².
Ensuite pour l'histoire des parties réelles et imaginaires, c'est bien ça.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 00:58

Justement comment l'appliques-tu à f² ?

Pour moi, la formule de Cauchy ne fait intervenir que f et ses dérivées nièmes

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 01:00

Je parle de la formule de Cauchy Classique.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 01:03

Soit 4$f(a)ind_{\gamma}(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{f(u)}{u-a}du

Mais pour f² ???

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 01:05

Tu remplaces f par f² et c'est tout !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 01:06

Nan sérieux ?

Bon d'accord, ça me parait bizarre, enfin bon

Buena noche kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : Holomorphie 18-02-07 à 01:08

gracias !
Pourquoi bizarre ?
Je vais aussi aller !
à demain !

Posté par
fusionfroidere : Holomorphie 18-02-07 à 12:57

Donc à gauche aussi on remplace par 4$f^2 ?

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