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Holormorphie
Posté par alexis0587
Bonsoir, je galère sur cette égalité à trouver
On suppose f holomorphe sur D(0,1) ouvert, et continue sur l'adhérence sur D(0,1)
On cherche à montrer que
avec la détermination du logarithme d'argument dans ]0,2pi[
J'ai commencer à mettre à la place de |z|, le chemin t -> exp(2pi*i*t) sur [0,1]
D'ou on peut enlever la fraction mais il reste toujours
Donc comment passer à l'égalité :sss
Si quelqu'un a une idée, une suggestion je suis preneur 
Merci
Bonsoir alexis0587
Je ne comprends pas très bien : dans l'égalité de départ, pour l'intégrale de droite, sur quel chemin on intègre ?
Kaiser
J'ai peut-être une petite idée : pour x dans [0,1] utilise la formule de Cauchy pour exprimer f(x) ensuite intègre entre 0 et 1 et utilise Fubini.
Kaiser
Qu'à cela ne tienne : on peut toujours dire que l'on intègre sur [0,1[ (ou alors tu peux intégrer sur [0,a] avec a < 1 et à la toute fin, tu pourras faire tendre a vers 1.
Autre chose : la formule de Cauchy est vraie pour un lacet inclus dans l'ouvert. Le problème est que le cercle unité n'est pas inclus dans l'ouvert. je te conseille donc de prendre r vérifiant 0 < x < r < 1 et d'appliquer la formule de Cauchy sur le cercle de rayon r, puis de faire tendre vers 1.
Kaiser
dans c'est cas la ca à l'air de fonctionner, il ne reste plus qu'à montrer que
, pour s<1
sauf erreur
Merci Kaiser
OK.
Il faut donc montrer qu'une intégrale sur un certain lacet est nul. ça te fait penser à quoi ?
Kaiser
Au thorème de Cauchy, comme f est holomorphe sur D(0,1) et log(z-1) holomorphe sur D(0,1) alors comme D(0,1) est un convexe, l'intégrale sur |z|=s<1 est nul.
Pourtant en |z|=1, le log (z-1) à une singularité, ce n'est pas un problème pour faire tendre s vers 1??
non, ça ne pose pas de problème : cette intégrale vaut tout le temps 0, donc quand on fait tendre s vers 1, ça reste nul.
Kaiser
Bonjour
Je me suis rendu compte (un peu tard ! 
) que ce n'était pas si rigoureux, alors voici un lien dans lequel l'exo a été reposté et où il me semble que c'est plus convaincant. 
integration complexe
Kaiser