Niveau LicenceMaths 2e/3e a

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Posté par
Lili6 30-07-18 à 02:24

Salut à tous, j'ai un problème avec cet exercice

Soit $f: X \to Y$ une application. Pour toute famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties de $X$ vérifier $f(\cap _{i \in I} A_{i})$ = $\cap_{i \in I} f(A_{i})$

Voici ce que j'ai fait:

$y \in f( \cap_{i \in I} A_{i})$

$\Leftrightarrow \exists x \in \cap_{i \in I} A_i   f(x) = y$

$\Leftrightarrow \forall i \in I   \exists x \in A_i   f(x) = y$

$\Leftrightarrow \forall i \in I   y \in f(A_i)$

$\Leftrightarrow y \in \cap_{i \in I}f(A_i)$

Donc   $f(\cap _{i\in I} A_i ) = \cap_{i \in I } f(A_i)$

Mais il se trouve que l'égalité à montrer est fausse en général.Elle est vrai que lorsque f est injective. Donc mon raisonnement est faux

J'aimerais qu'on me montre les fautes, qu'on m'explique clairement en quoi c'est faux et qu'on utilise l'hypothèse '' f injective '' dans ce raisonnement pour qu'il soit vrai (si possible).

Merci d'avance

Posté par Image d'intersection vers intersection d'images 30-07-18 à 08:21

bonjour,
Regarde l'inclusion dans les 2 sens,
Pour $\subset$ , tu fais une erreur à la 3ème ligne de ta démonstration, c'est le même x pour tout i
Regarde ensuite ce qui se passe dans l'autre sens. Il est clair que avec f non injective, $A_1\cap A_2$ peut être vide donc aussi $f(A_1\cap A_2)$ et non $f(A_1)\cap f(A_2)$
Pour répondre à ta question: Si f est injective , $\forall i, y\in f(A_i)$ implique $\forall i, \exists x_i,y=f(x_i)$ mais ce x est unique, donc x appartient à tous les $A_i$

Posté par Image d'intersection vers intersection d'images 30-07-18 à 08:50

re,
j'ajoute une remarque d'ordre plus général:
Tu n'avais pas l'injectivité de f comme hypothèse, tu savais donc d'après ce que tu dis qu'il n'y avait pas égalité, or tu te lances dans une "démonstration" par équivalence, c'était forcément voué à l'échec!

Posté par re : Image d'intersection vers intersection d'images 30-07-18 à 08:54

Bonjour !
Ton erreur se trouve là :

Citation :

$\Leftrightarrow \exists x \in \cap_{i \in I} A_i f(x) = y$
$\Leftrightarrow \forall i \in I \exists x \in A_i f(x) = y$

En partant de la première ligne, tu dois écrire :
$\exists x\in X,\;\forall i\in I,\; y=f(x)$
et ce n'est pas équivalent à
$\forall i\in I,\;\exists x\in X,\; y=f(x)$ .
Tu ne peux pas dire : "pour tout homme il y a un homme qui est son père" équivalent à "il y a un homme père de tous les hommes".

Posté par re : Image d'intersection vers intersection d'images 30-07-18 à 11:47

Bonjour et merci encore, je crois que j'ai compris. C'est la différence de sens liée à l'ordre des quantificateurs qui m'a induit en erreur... Il fallait plus ou moins utiliser l'injectivité pour pouvoir utiliser le sens qui convient à l'exercice Reçu 5/5

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