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implication logique et ensemble
Posté par IamMe
Bonjour, j'ai un exercice qui me pose soucis :
Soit E et F deux ensembles. Soit f une application qui à tout élément de E fait correspondre un élément, noté f(x) de F.
Soit la proposition∀x∈E,∀y∈E,(x
y)⇒(f(x)f(y)).
1.Écrire la négation de cette proposition.
2.Dans la proposition originale, remplacer l'implication par sa contraposé.
3.Écrire la négation de la proposition ainsi obtenue.
4.Comparer les deux négations obtenues en 1) et 3).
Je bloque à la première question. J'ai une proposition avec une implication. On imagine P' et Q deux propositions.
P'
Q. non(P' Q) 
(P et non Q).
Du coup concernant la proposition :
non (∀x∈E,∀y∈E,(xy)⇒(f(x)f(y))) (∀x∈E,∀y∈E,(xy) et f(x)=f(y))
?
Citation :
non (∀x∈E,∀y∈E,(xy)⇒(f(x)f(y))) (∀x∈E,∀y∈E,(xy) et f(x)=f(y))
non (∀x∈E,∀y∈E,(x
y)⇒(f(x)f(y))) (∀x∈E,∀y∈E,(xy) et f(x)=f(y)) Attention à remplacer également les quantificateurs dans la négation d'une proposition.
Soit P(x) une propriété dépendant de x :
non(
x, P(x)) 
x, (non P(x))Oui mais la proposition de l'énoncé :
P' Q
avec P : (∀x∈E,∀y∈E,(xy))
et Q ( f(x)f(y)
Or non(PQ) (P et (non Q))
Donc c'est P et pas non P.
Citation :
Or non(PQ) (P et (non Q))
Donc c'est P et pas non P.
Or non(P
Q) (P et (non Q))
Donc c'est P et pas non P.
oui je suis d'accord mais tu as oublié de nier aussi ∀x∈E,∀y∈E
Pour qu'une proposition commençant par un quantificateur universel soit fausse, il suffit que tu trouves un seul élément de l'ensemble considéré qui invalide la propostion.
Exemple :
proposition P : "tous les nombres entiers sont positifs" s'écrit
proposition non P : "il existe au moins un nombre entier strictement négatif" s'écrit :