Annuler
connectez vous
logique en post-bac
- Description de mathématique formelle-termes et relations
- Théorèmes
- Théories logiques
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre LogiqueTopics traitant de logique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Inclusion
Posté par Jaina
Bonjour,
Petite question. Si on considère deux matrices A et E tq :
AE=A
Est ce que c'est juste de dire Im(E) est inclu dans Im(A) ?
Merci.
édit Océane
Non
On se place dans R3
E est la projection sur le plan I,J (vecteurs)
A est la projection sur I
AE = A
Im E = plan I,J
Im A = droite I
Ok, je vois sur cet exemple que c'est l'inverse.
En fait je n'arrive pas à comprendre pourquoi dans le cas général. 
Autre exemple :
Moi j'aurais dit : Im(A) inclu dans Im ()
Or c'est l'inverse.
Je ne comprend pas le raisonnement qu'il y a derrière.
Pourriez-vous essayer de m'expliquer ?
Merci !
Bonsoir Jaina
(jeanseb semble déconnecté)
Si un élément Y appartient à l'image de , c'est dire qu'il existe X tel que
.
Mais ça veut dire aussi que l'on a avec
et donc Y est dans l'image de A.
Tu vois maintenant ?
Pour le noyau, il suffit d'appliquer le même type de raisonnement.
Kaiser
(re)Bonsoir Kaiser !
Ok je pense avoir compris pour les images (il faut lire Z=AX, non ?).
Tous les sont image de A, mais par contre, les tous les
ne sont pas forcément image de
(sauf si Z=A).
Bon, j'essaye pour le noyau.
Si un élément Y appartient au noyau de , on a A(AY)=0
Donc : Ker A inclu dans Ker() car on a toujours A(AY)=0 implique AZ=0, mais si on a AZ=0, cela n'implique pas forcément
(sauf si Z=AY).
C'est ça ?
Effectivement, il faut lire Z=AX, désolé ! 
Citation :
Tous les
sont image de A, mais par contre, les tous les 
ne sont pas forcément image de 
(sauf si Z=A).
Tous les
Pour le début, je suis d'accord avec toi mais pour la fin, je ne comprends pas trop : A est une matrice carrée et Z est un vecteur.
Sinon, pour le raisonnement avec le noyau, je ne suis pas sûr de bien comprendre. Pour toi, c'est quoi Z ?
Kaiser
Pour l'image: on oublie le Z=A 
Pour le noyau : il faut lire : Ker A inclu dans Ker() car on peut trouver un élément Z tel que : A(AY)=0 implique AZ=0,
mais si il existe un élement Z tel que AZ=0, cela n'implique pas forcément .
C'est mieux comme cela ?
Je vois à peu près ce que tu veux dire mais il faut essayer de procéder méthodiquement pour que ça soit le plus clair possible.
On veut montrer l'inclusion .
Le mieux est de repartir des définitions.
D'abord, tu considères X dans le noyau de A et ensuite, tu montres qu'il est dans le noyau de .
Kaiser
Ok.
Je réessaye :
Soit X dans Ker(A).
On a : AX=0
Euh... Je n'arrive pas à le faire dans ce sens là... Est-ce que il faut multiplier l'égalité par A ?
Dans ce cas on a : AAX=0 donc donc X est dans le noyau de
.