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Inéquation chez les complexes

Posté par
Yota 19-09-08 à 15:29

J'ai deux petits exercices du genre que je n'aime pas :

1 - si |a|<1, résoudre | \frac{z-a}{1-\overline a z} | <1

2 - si Re(a)>0, résoudre | \frac{a-z}{\overline a+ z} | \ge 1

Je sens vaguement qu'il y a une histoire de distances mais je reste bloqué.

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Inéquation chez les complexes 19-09-08 à 16:45

Bonjour,

|z-a|^2<|1-\bar{a}z|^2

(z-a)(\bar{z}-\bar{a})<(1-\bar{a}z)(1-a\bar{z})

z\bar{z}-\bar{a}z-a\bar{z}+a\bar{a}<1-\bar{a}z-a\bar{z}+a\bar{a}z\bar{z}

z\bar{z}(1-a\bar{a})<1-a\bar{a}

z\bar{z}<1

|z|<1

L' autre doit être dans le même genre...

Posté par
cailloux Correcteurre : Inéquation chez les complexes 19-09-08 à 21:43

En procédant de la même manière pour l' autre inéquation, on tombe sur:

\bar{a}z+a\bar{z}\leq 0

L' équation \bar{a}z+a\bar{z}=0 est l' équation de la droite \Delta sur la figure.

Notre inéquation correspond à un des demi plan limité par \Delta

Autrement, on peut écrire:

\bar{a}z+a\bar{z}\leq 0\Longleftrightarrow \vec{OA}.\vec{OM}\leq 0

Ce qui amène la même conclusion.

Ou bien en posant a=u+iv et z=x+iy:

\bar{a}z+a\bar{z}\leq 0\Longleftrightarrow Re(\bar{a}z)\leq 0\Longleftrightarrow ux+vy\leq 0

Ce qui revient encore au même...

Inéquation chez les complexes




Posté par
ottore : Inéquation chez les complexes 20-09-08 à 01:45

Salut,
va faire un tour sur google avec "distance pseudo hyperbolique".
Il se trouve que ce que tu as sont des automorphismes de domaines bien connus dans C.

Tu peux résoudre le problème de façon quasi immédiate si tu remarques que dans le premier cas, le cercle de rayon 1 est envoyé sur le cercle de rayon 1.

Dans le second cas, il doit y avoir une droite qui est invariante également ...


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