bonjour : )

Il faut juste connaitre les définitions de fonctions injectives, surjectives, bijectives.
Alors quelles sont-elles ?

Si tu les connais, il ne devrait pas t'être difficile d'énoncer la négation : fonction non injective, non subjective, non bijective.

Je connais bien la définition de ces mots. Mais mon problème c'est que je ne sais pas comment m'y prendre pour construire une application sur I et elle remplissecse ces conditions.

Une fonction f E vers F est dite injective lorsque pour tout couple(x, y) de f on a f(x) =f(y) ==>x=y
En un mot chaque élément de E a une image distincte.

Une fonction non injective est une fonction dont au moins deux éléments de l'ensemble de départ ont même image

Très bien. Maintenant quelle est la difficulté de construire une fonction non injective ? (C'est à dire une fonction qui prend au moins deux fois la même valeur ?)

Bon lorsque j'essaie de construire je vois qu'il peut arriver qu'au moins élément de E a deux images ce qui fait que cela n'est plus une application.

Mais non, relis la définition et ce que j'ai écrit.

Il ne s'agit pas d'avoir un élément de l'ensemble de départ qui a deux images (il ne s'agirait même plus d'une application) mais il s'agit d'avoir deux éléments différents de l'ensemble de départs qui ont la même image (il s'agit d'avoir une fonction qui prend deux fois la même valeur).

Formellement une fonction non injective sur I vérifie :
.

C'est bien la négation de :

Je vois bien ce que vous avez écrit mais je ne comprends pas pourquoi vous avez composé avec ^

Le symbôle signifie ET.

La négation de P Q est : P ET non(Q).

f est non injective sur I si elle vérifie :
.

Oui je vois, je pensais qu'il s'agissait d'une lois de composition interne avec la loi^

Est-ce que l'application de I dans definie par f(x) =-1/2x+1 est-elle admissible ?

Clairement non. Essaie donc de me trouver une valeur qui est prise deux fois par la fonction f.

Une fonction bijective est toujours injective.


La fonction constante égale à 1/2 convient (la fonction constante égale à k avec k un réel quelconque de [0 , 1] convient).

Est-ce que l'application de I dans definie par f(x) =x(x-1)
Si x=0  f(0)=0
Si x=1 f(1)=0

Non. Tu sais que tu peux aussi faire un graphique pour observer ?

>>> Est-ce que tu comprends que l'on a pour contrainte : f à valeurs dans I ?
>>> C'est à dire que l'ensemble d'arrivé de la fonction doit être incluse dans I.
Avec ton f, on a f(1/2) = -1/4 n'appartient pas à I par exemple donc non la fonction n'est pas bonne.

f définie par f(x) = -x(x - 1) conviendrait oui. Pour tout x appartient à I = [0 , 1] a on bien f(x) qui appartient à [0 , 1].
Et puisque f(0) = f(1) la fonction est non injective sur I.

Ok ?

Oui de plus pour y=1 f(x)  n'admet pas de solution donc elle est aussi non subjective. Waouu.
Mais n'y a-t-il pas une méthode plus rapide ou une methode adaptée à la détermination et à la résolution de ces genres d'exercices ?

La méthode la plus rapide est de faire un dessin.

Une fonction injective : ne prend jamais deux fois la même valeur.
Pour construire une fonction non injective il suffit juste de la faire prendre deux fois la même valeur.

J'ai donné l'exemple d'une fonction constante. Franchement on ne peut pas faire plus simple comme fonction continue.

On peut encore prendre l'exemple de la fonction f définie sur [0 , 1] par :
f(x) = x si x appartient à ]0 , 1[.
f(0) = f(1) = 0
Cette fonction est bien à valeurs dans [0 , 1] et de plus elle est non injective par construction même. En effet elle prend deux fois la valeur 0 : en 0 et en 1.

Une fonction surjective : tous les éléments de l'ensemble d'arrivé possèdent au moins un antécédent.
Pour construire une fonction non surjective il suffit de faire en sorte qu'au moins un élément de l'ensemble d'arrivé n'ait pas d'antécédent.

On veut que la fonction ne soit pas surjective de I sur I.
Mes deux précédents exemples fonctionnent très bien.
Pour la fonction constante c'est clair.
Pour la fonction f définie sur [0 , 1] par :
f(x) = x si x appartient à ]0 , 1[.
f(0) = f(1) = 0
On voit que 1 n'a pas d'antécédent par f si bien que f est non surjective de I sur I.

Intéressant cette démarche. Haa si je l'avais compris ainsi...
Merci beaucoup

T'inquiète tu peux encore t'exercer pour la suite.

salut

1/ non injective et non surjective ::










pour sortir des fonctions triviales ...

Vraiment grand merci à vous et je vais toujours approfondir mon apprentissage.

Au fait je suis en première année de Mathématiques et informatique. Et on a commencé les cours avec une grande accélération mais ça ira. Actuellement ce sont les documents que je cherche. Je ne sais pas si "vous pouvez m'en conseiller quelques uns. Vraiment un conseil de la part des grands frères est toujours le bienvenu.

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