1/ on vérifie que f est bien une application de R\{2} dans R\{3}

en effet f est bien défini sur R\{2} et
f(x) = 3 => 2=-6 ce qui est absurde

soit y € R\{3}

x€ R\{2} antécédent de y par f <=> y=f(x)
                        <=> y = (3x+2)/(x-2)
                        <=> ..
                        <=> x=(2+2y)/(y-3) car y !=3

x est unique => f est bijective et f^-1= x -> (2+2x)(x-3)
                                                 R{3}->R{2}

2a/ inter = i
l'injectivité de f nous assure que ker f = {0}
(XiA,XiB) = (,)  => X =

f(C(A)iC(B)) = (vide,vide) = > C(A)iC(B) = C(A) = complementaire de A

C(a)iC(b)= C(AUB)= vide => AUB = E

reciproquement supposons AUB = E
f(X) = vide => XiA= vide et XiB = vide
supposons X non vide
alors il existe quelqu'un dans x mais XiA= vide donc x € C(A) de meme x e C(B) donc x € vide voila ki est fortement absurde donc X=vide
voila qui assure l'injectivité de f

f injective <=> AUB=E   sauf erreur eventuelle ^^ !!!

b/ supposons f surjective
alors pour tout (U,V) € P(e)XP(e) il existe un X | (U,V)=(XiA,XiB)
en particulier pour (A,A)

il existe un X € P(E) telle que A=XiA
                                A=XiB

AiC(A) = vide = (XiA)iC(XiB)
              = (XiA)i(C(X)UC(B))
              = vide U XiAiC(B) or XiA = A
donc AiC(B) = vide

f surjective => AiC(B) = vide

on vérifie certainement la réciproque

c/ f bijective <=> f injective et surjective <=> condition a/ ET condition b/

!!

Merci à toi jiju33,
il me reste plus qu'a travailler ça à tete reposée et t'emmbéter avec mes question (si question il y aura!)

Bon week end à tous (sur l'ile ou pas!)

Amicalement,

Al Khwarizmi

2) Exercice déjà posé sur l'île et j'y ai répondu. Malheureusement la fonction "recherche" sur le forum a perdu ses compétences...

jiju33 : l'injectivité de f nous assure que ker f = {0}

Le "Ker" concerne les applications linéaires, ici ça n'a pas de sens. De plus on dirait que tu supposes dès le départ que f est injective ?

Ouais non j'ai peut-être confondu avec ce topic : injection -surjection ou celui-ci : injection et surjection.

Tu peux y jeter un oeil, Al-khwarizmi, même si ce n'est pas le même exo.

effectivement

mais bon tu m'accordera que si f injective => (f(a)=f(b) => a=b)
or f(vide) = f(C(A)iC(B)) donc C(A)iC(B) = vide

oui je suppose l'injectivité pour trouver une condition nécessaire

injective => quelquechose

Bonjour,

2)a)

injective


Supposons injective
Prenons et . Ils vérifient bien
Donc

Inversement, supposons .
Soit
Alors :


Nicolas

U --> +
---> *

f(X+Y) = ((x+y)a,(x+y)b) = (ax,bx)+(ay,by) si ca a un sens

ne peut-t-on pas considérer cette apllication linéaire ?!! (même si on n'a pas f(aX)=af(X) qui n'a pas trop de sens)

2ème membre : couple d'ensembles
3ème membre : un ensemble
Cela me semble déraisonnable.

okay !

bon toute facon ici Ker f = { X € P(E) , f(X) = vide } = vide
puisque f(vide) = vide

et si f(X) = vide = f(vide)   => X= vide

Il y tient à son Ker :lol

Il y tient à son Ker

oui lol

jiju33
ne peut-t-on pas considérer cette apllication linéaire ?!! (même si on n'a pas f(aX)=af(X) qui n'a pas trop de sens)

La notion de noyau a un sens pour un morphisme de groupe, pas besoin de structure d'espace vectoriel.

La différence symétrique est une loi de groupe sur P(E). L'union n'en est pas une.

moi je parlais de la notion de linéarité pas de la notion de noyau

Ppffff... j'ai l'impression de me heurter à un mur...  

bonjour à tous,

bin, comme promis voici mes différentes questions à qui veut bien me répondre (merci d'avance)

Au sujet de l'exercice 2)

tout d'abord que signifie "ker f = {0}"?
je ne pense pas avoir déjà rencontré cela, d'ailleurs si cela a attrait à la notion de groupe etc, j'y suis pas encore arrivée. C'est aussi pour cela que j'aime beaucoup la résolution de Nicolas_75.
Enfin soit, quel est aussi votre procédé de résolution? est ce que vous envisagez tous les cas pour X (càd X=A, X=B, X=E\A, X=AUB ...) ou y a-t-il un autre procédé?

Dernière question, j'ai bien compris ta résolution Nicolas_75 mais pas la 2ème partie (la réciproque)... Pourquoi part tu de X = XUE?
Pourrai tu me donner ta résolution pour la surjectivité?

Encore merci à tous!

Amicalement,

Al Khwarizmi

tout d'abord que signifie "ker f = {0}"?

Quelque chose qui n'a strictement rien à faire dans cet exercice mais que jiju33 trouve trop génial

Faute de frappe, en effet :

salut Nicolas_75,

il serait pas un peu trop tard pour faire des maths? ou plutot trop tot...
Je parle mais j'étéais justement entrain de travailler ça...
Moi et la théorie des ensembles, ça fait bien deux!
Si t'en a le courage, pourquoi part tu de X=X inter E?

X = X inter E est toujours vrai.
J'introduis E pour le remplacer par A U B, puis distribuer... et remplacer les X par X'... et retomber sur X' à la fin

(pour la surjection, je t'enverrai quelque chose un peu plus tard)

ok Merci, Bonne nuit

Je suis levé ! Bonne nuit à toi.

t'es trop fort... merci et... bon dimanche alors

Surjectivité




Supposons surjective.
doit avoir un antécédent.
Donc
Cela oblige à
Alors se définit par : . Donc tout couple tel que n'a pas d'antécédent.
Impossible ?

Nicolas

(A,B) = (,)

et

E\AB(E\ABA, E\ABB) = (,)

Est ce que cela implique que f est surjective?

remarque : comme c'est ma grande première avec les symboles, j'ai oublié d'encadrer les (AB) de parenthèse. D'ailleurs j'invite tout le monde à utiliser ces symboles car cela rend bien plus lisible les choses et que ce n'est vraiment pas compliqué (enfin... ca ne reste que mon point de vue)

Bon dimanche à tous

Al-khwarizmi, penserais-tu que "surjective" signifie "non injective" ?

Non pas du tout car il existe une application qui peut etre ni injective, ni surjective.
Mais pour montrer que f est surjective je dois montrer que tout élément de P(E) X P(E) est atteint et que certains éléments sont atteints plusieurs fois, non?

Tu dois seulement montrer que tout élément de P(E) X P(E) est "atteint". Montrer que certains (un seul suffit) de ses éléments est atteint plusieurs fois signifie que l'application n'est pas injective.

Or il semble que tu as voulu nous montrer que est atteint deux fois et tu demandes si cela implique que f est surjective.

mais si je montre seulement que tout élément est atteint, je montre alors qu'elle est bijective... ou... pas nécessairement, c'est ca?

mais l'application f : P(E) P(E) X P(E) ne peut etre surjective car il y a moins d'éléments dans P(E) que dans P(E) X P(E)...
est - ce une bonne justification?

1) As-tu remarqué que Nicolas_75 a donné une démonstration de l'impossibilité de la surjectivité de cette application ?

2) Ce que tu dis pourrait être une bonne justification dans le cas où E est un ensemble fini, auquel cas P(E) est aussi fini.

En effet, si X et Y sont des ensembles finis, il existe une application surjective de X sur Y si et seulement si Y a moins d'éléments que X.

Mais cela est faux si X et Y sont infinis. Par exemple, il existe une bijection (donc une surjection) de sur .

oui je suis bien d'accords avec toi, mais dans l'énoncé ne sous entendons-nous pas que E est un ensemble fini? ou comme on ne dit rien on doit supposer qu'il est infini?

ah ok... Nicolas le résout par l'absurde... je suis désolé d'etre aussi lent mais bon, je suis encore en pleine formation - démonstration

Ouaiy. Juste une remarque : dansl e cas particulier où  E est l'ensemble vide,  l'application est bijective.

Ouaiy. Juste une remarque : dans le cas particulier où  E est l'ensemble vide,  l'application est bijective.

Arretez moi si je dis des bêtises...

Soit f une application de A B

En résumé et en pratique,

-pour montrer que f est injective il faut et il suffit de montrer que si 1 élément de B a 2 antécédants que ces 2 antécédants sont égaux

-pour montrer que f est surjective, il faut et il suffit de montrer que tous les élément de B sont atteints (1 ou plusieurs fois, peu importe)

-pour montrer que f est bijective, il faut et il suffit
          *soit de montrer que f est injective et surjective
          *soit de montrer que f^-1 est aussi une application

est ce correcte? ou y a t il d'autre procédés (de base) que j'ai oublié