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Injectivité

Posté par
jacksparrow
25-11-18 à 12:48

Bonjour,

j'ai un exercice concernant l'injectivité et j'ai du mal à démarrer. Pourriez-vous m'éclairer svp ?

Exercice:

Soit une application f : EF. Montrer
                 f est injective si et seulement si f-1o f = idE

Je vous remercie

Posté par
DOMOREA
Injectivité 25-11-18 à 13:30

bonjour,
si f est injective alors f:E--->f(E) est bijective donc f^{-1}f(E)=idE
Si f^{-1}f(E)=id_E alors pour tout y de f(E) il existe x unique dans E, f^{-1}(\{y\})=\{x\} donc f est injective

Posté par
flight
re : Injectivité 25-11-18 à 13:41

salut

..je pensais qu'on avait pas le droit de pondre la solution ...DOMOREA à l'amende ... :D

Posté par
DOMOREA
Injectivité 25-11-18 à 13:58

ok je vais au coin!

Posté par
alb12
re : Injectivité 25-11-18 à 14:05

salut, la loi du forum est dure mais c'est la loi

Posté par
jacksparrow
re : Injectivité 25-11-18 à 14:08

Réponse rapide et efficace ! Même si la première ligne me laisse perplexe ( une fonction injective implique qu'elle soit bijective ? ). Enfin je ne vais pas me plaindre d'avoir la solution.

Merci à vous !

Posté par
jsvdb
re : Injectivité 25-11-18 à 14:10

Bonjour jacksparrow.
Une fonction injective est bijective sur son image

Posté par
jacksparrow
re : Injectivité 25-11-18 à 14:31

D'accord donc si j'ai bien compris comme chaque point de l'ensemble de départ a une image et que chaque point de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent ( car f est injective ), on obtient f-1f(E) = idE

Posté par
lafol Moderateur
re : Injectivité 25-11-18 à 16:24

Bonjour
solution qui a l'air toute cuite mais qui est salement piégée .... un ensemble n'est certainement pas égal à une application !

Posté par
lafol Moderateur
re : Injectivité 25-11-18 à 16:25

et l'énoncé est mal ficelé : comment définir f^{-1} comme application tant qu'on ne sait pas si f est bijective ?

Posté par
jsvdb
re : Injectivité 25-11-18 à 17:35

Le f-1 doit être compris comme inverse à gauche.

Posté par
lafol Moderateur
re : Injectivité 25-11-18 à 17:36

c'est bien ce que je dis : il y a du non écrit dans cet énoncé .... a minima des notations non clairement définies

Posté par
lafol Moderateur
re : Injectivité 25-11-18 à 17:37

et même peut-être le manque d'un "il existe un inverse à gauche, noté...."

Posté par
jsvdb
re : Injectivité 25-11-18 à 17:40

Nous sommes bien d'accord quant au flou de l'énoncé ... 🤨



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