Niveau école ingénieur

Intégral par le Théorème de Résidus

Posté par
Mathes1 28-10-23 à 21:56

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit C le cercle|z|=3 . évaluer les intégrales suivants:
1.
$\oint_C\dfrac{sin(\pi z²)+cos(\pi z²)}{(z-1)(z-2)}dz$
2)
$\oint_C \dfrac{e^{z}}{(z+1)(z-4)}dz$
je propose
l'intégral est de -3 à 3
1) on calcule les résidus
On a deux pôles simples 1 et 2
Avec 1 et 2 [-3,3]
Donc * $Res (f,1)=\lim_{z\to 1} \dfrac{sin(\pi z²)+cos(\pi z²)}{z-2}=\dfrac{-1}{-1}=1$
* $Res(f,2)=\lim_{z\to 2}\dfrac{sin(\pi z²)+cos(\pi z²)}{z-1}=\dfrac{1}{1}=1$
D'où :
$\oint_C\dfrac{sin(\pi z²)+cos(\pi z²)}{(z-1)(z-2)}dz$ = $2i\pi \sum_{k=1}^{2}{Res(f,z_k)}=2i\pi (1+1)=4i\pi$
2)
On a deux pôles simples -1 et 4 mais 4[-3,3]
Donc on a un seul résidus
* $Res(f,-1)=\lim_{z\to -1}\dfrac{e^z}{z-4}=\dfrac{e^{-1}}{-5}=-\dfrac{1}{5e}$
Donc :
$\oint_C \dfrac{e^{z}}{(z+1)(z-4)}dz$ = $- \dfrac{4\pi i}{5e}$
Merci beaucoup d'avance !

Posté par re : Intégral par le Théorème de Résidus 28-10-23 à 23:36

Bonsoir,
Désolé une faute de frappe à la fin

Citation :
Donc :
$\oint_C \dfrac{e^{z}}{(z+1)(z-4)}dz$ = $- \dfrac{\red{2}\pi i}{5e}$

Posté par re : Intégral par le Théorème de Résidus 29-10-23 à 14:00

Pour le 2) la justification pour exclure le 4 est fausse. La raison pour laquelle on exclut 4 n'est pas $4\notin [-3,3]$ mais $4 \notin D(0,3)$

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