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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Intégrale complexe

Posté par
Apparition
13-03-18 à 18:14

Bonjour, débutant l'analyse complexe, j'ai un peu de mal avec les intégrales curvilignes.
Voilà l'exercice qui me pose problème :

C désignant le cercle unité parcourut dans le sens positif, calculer :

A = \int_{C}^{}{(z+\frac{1}{z})^{2n}\frac{dz}{z}}
avec n un entier naturel.

En déduire la valeur de \int_{-\pi }^{\pi }{cos^{2n}tdt}

et ,

\int_{-\pi }^{\pi }{sin^{2n}tdt}.

Donc comme on intègre sur un chemin fermé , par Cauchy, on a A=0. De là je bloque pour calculer A, le puissance 2n me bloque vraiment. J'aimerais bien avoir une petite indication s'il vous plait.

De plus si vous avez des Liens de sites avec des exercices corrigés  d'analyse complexe accessible à un niveau L3 je suis preneur!

Merci d'avance,

Posté par
leducstet
re : Intégrale complexe 13-03-18 à 18:44

Bonjour,

On intègre sur un contour fermé, d'accord, mais la fonction que l'on intègre présente une jolie singularité. Le théorème des résidus serait une meilleure idée.

Posté par
matheuxmatou
re : Intégrale complexe 13-03-18 à 18:46

Bonsoir

Je me demande si la fonction n'a pas un pôle à l'intérieur du circuit ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégrale complexe 13-03-18 à 18:53

Bonsoir, je pense que l'idée de l'exercice est de te faire calculer l'intégrale de deux façons :
- la première est d'utiliser le théorème des résidus (A n'est pas nulle car il y a une singularité en 0, c'est même un pôle d'ordre 2n+1) donc cherche le résidus en 0 et applique le théorème.

- la seconde en posant z = eia avec a allant de - à + va t'amener tout naturellement vers \int_{-\pi }^{\pi }{cos^{2n}tdt} que l'on te demande à la seconde question.

Posté par
jsvdb
re : Intégrale complexe 13-03-18 à 19:00

Salut !
matheuxmatou va partir en pôle position au circuit des 24h du Mans

Posté par
matheuxmatou
re : Intégrale complexe 13-03-18 à 19:08

jsvdb



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