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intégrale log(sin u))

Posté par
HighSchool2005 05-03-07 à 10:59

Bonjour,

je dois montrer que cette intégrale est convergente :
\int_{0}^{\Pi}{Log(sin(u))}

Je n'ai absolument aucune idée. Faut-il chercher une primitive ? (ce que je ne vois pas comment faire étant donné la fonction)

Posté par
tealcre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:03

Bonjour,

n'essaie pas de chercher la valeur de cette intégrale, ce n'est pas possible. La fonction ln(sin) est continue sur ]0, \pi[. Il faut montrer qu'elle est intégrable en 0 et pi.

Pour cela, je pense qu'il faut passer par un équivalent ...

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:11

Bonjour,
en posant t = pi - x , on peut montrer que c'est de même nature en 0 et en pi : \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\epsilon}{Ln(sin(u))du= \int_{\epsilon}^{\frac{\pi}{2}}{Ln(sin(t))dt}

Posté par
Justinre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:22

Avec mathematica je trouve une tres belle valeur : -pi*log(2).

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:27

On ne peut pas calculer directement I, ne connaissant pas de primitive de l'intégrande, par contre on peut transformer un peu I pour déterminer une valeur de I.

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:36

oui moi aussi j'ai cette valeur, le tout est de la prouver !

Lafol, si j'ai bien compris, tu montres que l'intégrale de Pi/2 à "un peu avant Pi" et l'intégrale de "un peu après 0" à Pi/2 sont égales. Mais, je ne vois pas comment ça montre que mon intégrale converge.
D'ailleurs, je ne vois pas comment à partir du changement de variable, tu obtiens ça...

Posté par
mikayaoure : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:41

en effet, HighSchool

je pense que lafol a voulu écrire t = pi/2 - x

et on obtient I = 2 somme( O ; pi/2 ; ln(sint)dt )

A vérifier

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:43

ça ne montre pas la convergence, mais seulement qu'il suffit de la prouver pour une des deux bornes.

en ce qui concerne le changement :
sin(pi - x) = sinx, et si t = pi - u, dt = -du, le signe moins permettant de "remettre les bornes à l'endroit"

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:45

les bornes :
Si u= pi/2, t = pi - pi/2 = pi/2
Si u = pi - epsilon, t = pi - (pi - epsilon) = epsilon

désolée, mika, mais avec tes pi/2 tu vas changer les sin en cos !

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:45

sinon, pour le calcul de l'intégrale, le principe est d'écrire que sin(x)=2cos(x/2)sin(x/2) puis de faire ensuite un changement de variable.

Posté par
mikayaoure : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:48

tu as raison lafol, je me suis tropé

en revanche, je reste persuadé que I (0;pi;f(x).dx ) = 2*I( 0;pi/2;f(x).dx )

non ?

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:49

oui, voir 11:11 (dès qu'on aura réglé le problème de la convergence ...)

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:50

Rouliane : en faisant le changement que tu préconises de epsilon à pi/2, ça doit marcher ? et on regarde ensuite ce qui arrive si epsilon tend vers 0 ?

Posté par
mikayaoure : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:51

par ailleurs, Bioche dit qu'on peut poser t = cos(x)

est-ce à suivre ?

Posté par
fusionfroidere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:52

Salut tout le monde,

Je crois que kaiser avait déjà traité cet exo, le tout est de le retrouver !

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:53

Mika : Bioche ne dit pas ça : ln(sin(u)) et ln(sin(-u)) n'existent jamais en même temps

Posté par
mikayaoure : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:55

oula , merci lafol de me corriger il n'y aurait plus que le changement t = tan(x/2) ?

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:55

ici ? Intégrale

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 11:56

avec mon message de 11:45 c'est réglé en 4 lignes.

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 14:32

dans le lien de lafol, les intégrales I et J ne sont pas égales

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 14:34

oui, l'avant dernier post de ce lien le fait remarquer

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 15:25

je suis désolée mais je te redemande pour la convergence car je n'ai pas compris J'ai compris comment tu avais trouvé ton égalité mais comment prouve-t-on que l'une des deux converge (donc les deux) ?

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 15:27

en suivant l'indication de Rouliane, ça ne marche pas ? tu dois avoir d'un coup la convergence et la valeur

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 15:58

en fait,

j'ai prouvé que \int ln sin(t) = \int ln |cos(t)|
et je suis en train d'essayer de prouver \int ln sin (t) = \int ln | sin (2t)| mais je n'y arrive pas (c'est demandé dans l'exercice et ça revient à ce que propose Rouliane) Je pense que je peux prouver ces égalités sur 0..Pi, ça ne gène pas
\int_{0}^{Pi}{ln|(sin(2t)|)}= \\ \int_{0}^{Pi}{ln|2 sin(t) cos (t)|}= \\ \int_{0}^{Pi}{ln 2 + ln |sin(t)| + ln |cos t|}= \\ \int_{0}^{Pi}{ln 2} + \int_{0}^{Pi}{ln|sin(t)|} + \int_{0}^{Pi}{ln sin(t)} = \\ \int_{0}^{Pi}{ln 2} + 2  \int_{0}^{Pi}{ln|cos(t)|}

on déduit de ça que \int_{0}^{Pi}{ln|(sin(2t)|)}= \int_{0}^{Pi}{ln|cos(t)|}
ssi
\int_{0}^{Pi}{sin(t)} = - \int_{0}^{Pi}{ln 2} = Pi * ln(2)

mais mon problème est que je n'arrive pas à prouver que \int_{0}^{Pi}{ln|(sin(2t)|)}= \int_{0}^{Pi}{ln|cos(t)|} = \int_{0}^{Pi}{ln sin(t)}

PS Bien remarquer les valeurs absolues.

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:00

en fait j'arrive à prouver la première égalité mais pas

\int_{0}^{Pi}{ln|sin(2t)|} = \int_{0}^{Pi}{ln sin(t)}

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:00


\int_{0}^{Pi}{ln|sin(2t)|} = \int_{0}^{Pi}{ln sin(t)}

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:10

si je ne me trompe pas, on a \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos t)dt avec le changement t/ pi/2 - t

Posté par
fusionfroidere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:11

4$sin(u) \sim u

Donbc 4$ln(sin(u)) \sim ln(u)

or 4$\int_0^1 ln(u)du est clairement convergente.

Posté par
fusionfroidere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:11

Ce que j'ai fait est en 0

Posté par
lafol Moderateurre : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:15

la valeur absolue devient nécessaire au delà de pi/2 car le cos y devient négatif
par le changement u=2t, on montre que \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin 2t)dt=\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{\pi}\ln(\sin t)dt=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt

il doit y avoir moyen de faire un peu pareil (avec des valeurs absolues) entre pi/2 et pi

Posté par
fusionfroidere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 16:34

Enfin, on a : 4$ln(sin(u))\sim ln(u-\pi) en 4$\pi

D'où la convergence de l'intégrale

Posté par
HighSchool2005re : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 17:30

je pense avoir réussi à adapter pour les valeurs absolues. Du coup, trouver la valeur de l'intégrale une fois toute les égalités prouvées est plutôt simple
Fusionfroide : petite question : est que
\int_{0}^{\Pi}{ln(sin(t)} équivaut à \int_{0}^{\Pi}{ln(t)}
ou bien parles-tu de \int_{0}^{1}{ln(u)} car u doit tendre vers 0 donc u € [0,1] ?
Si l'intégrale d'une fonction f est convergente sur [a,b], peut-on en déduire qu'elle converge aussi sur [c,d] avec c<a<b<d ?

Posté par
fusionfroidere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 21:04

On a au voisinage de 0 :

4$sin(u)\sim u d'où 4$ln(sin(u))\sim ln(u)  (te rapelles tu la condition pour passer au ln dans les équivalents ?)

Or, 4$\Bigint_0^1 ln(u)du=-1

Donc par comparaison des intégrales à termes positifs, tu en déduis que 4$\Bigint_0^1 ln(sin(u))du converge.

J'ai pris les bornes égales à 0 et à 1 puisuqe on étudie le problème en 0

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 05-03-07 à 23:22

Je fais vite fais la démo pour ceux que ça intéresse.

On a 3$ \Bigint_{0}^{\pi}\ln(\sin t)dt = \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt + \Bigint_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln(\sin t)dt

Par le changement de variable 3$ u=\pi-t, on a 3$ \Bigint_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln(\sin t)dt = \Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt.

On a donc 3$ \fbox{\Bigint_{0}^{\pi}\ln(\sin t)dt =2\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt}

Or 3$ \fbox{\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt = \Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(2 sin(\frac{t}{2}) cos(\frac{t}{2})) dt = \Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(2) + \Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(sin(\frac{t}{2})) + \Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(cos(\frac{t}{2}))}

En faisant maintenant le changement de variable u=t/2, on a :

3$ \fbox{\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt = \frac{\pi ln(2)}{2}+ 2\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{4}}\ln(sin(t)) + 2\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{4} }\ln(cos(t))} .

En faisant maintenant le changement de variable u=\frac{\pi}{2}-t, on a que 3$ \fbox{\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{4} }\ln(cos(t))= \Bigint_{\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }\ln(sin(t))}

On a donc 3$ \fbox{\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt = \frac{\pi ln(2)}{2}+ 2\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(sin(t))} , c'est à dire :3$ \fbox{\Bigint_{0 }^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt = -\frac{\pi ln(2)}{2} }  et on a finalement :

4$ \blue \fbox{\fbox{\Bigint_{0 }^{\pi}\ln(\sin t)dt = -\pi ln(2)}}

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 00:58

C'est beau

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 00:59



Je crois que cette intégrale se nomme intégrale de Dirichlet.

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:05

Ah tiens moi je croyais que Dirichlet c'était sin t/t.

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:15

les 2 sont dues à Dirichlet

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:15

Ok je me coucherais moins bete

Bonne nuit

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:17

Bonne nuit
J'vais aller matter Saw, ça va peut-etre me donner des idées pour trouver cet exo, qui sait

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:19

Saw lequel?

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:20

le I, j'en ai vu aucun.

Je vais plonger l'intégrale dans l'acide, on verra ce que ça donne ...

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:21

Ok moi je m'en vais dormir parce que cours demain

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:22

ok, bon courage alors !
Quelle heure tes cours ?

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:22

8h30

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 01:24

arf, dur le réveil alors. Je faisais pareil quand j'étais en écolé d'ingé, couché 3h levé 7h30, j'étais claqué, mais content

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 18:52

Non je fais jamais ca la c'est de la folie je récupère demain je commence tard

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 21:04

Il faut le temps de prendre le rythme

Perso, c'est entre minuit et 2h du mat que je suis le plus efficace au travail.

Posté par
Cauchyre : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 21:43

Oui moi aussi mais faut que je dorme

Posté par
Roulianere : intégrale log(sin u)) 06-03-07 à 23:29

y'a le we pour ça

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