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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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intégrale sur un chemin dans C

Posté par
termina123
18-05-22 à 15:19

Bonjour
Je dois calculer cette intégrale : \int_{\gamma}^{}{Re(z) dz} avec \gamma le bord du carré fermé de sommets 0, 1, 1+i, i parcouru dans le sens positif
Je pose \gamma (t)=\begin{cases} & \text{t \; si } 0\leq t \leq 1 \\ & \text{ 1+(t-1)i \; si } 1\leq t \leq 2 \\ & \text{ (3-t)+i \; si } 2\leq t \leq 3 \\ & \text{ i(4-t)\; si } 3\leq t \leq 4 \end{cases} pour tout t dans [0,4]
L'image de gamma est pour moi un carré et gamma est continue sur [0,4] et dérivable par morceaux

Si t\in [0,1] , f(\gamma (t))(\gamma '(t))=Re(t)*1=t
Si t\in [1,2] , f(\gamma (t))(\gamma '(t))=Re(1+(t-1)i)*i=i
Si t\in [2,3] , f(\gamma (t))(\gamma '(t))=Re((3-t)+i)*(-1)=t-3
Si t\in [3,4] , f(\gamma (t))(\gamma '(t))=Re(i(4-t))*(-i)=0
\int_{\gamma}^{}{Re(z) dz}=\int_{0}^{1}{tdt}+i\int_{1}^{2}{1dt}+\int_{2}^{3}{t-3dt}+\int_{3}^{4}{0dt}=i

Est ce correct ?

Posté par
carpediem
re : intégrale sur un chemin dans C 18-05-22 à 15:39

salut


çe que tu as écrit me semble correct ... mais j'aurai pensé qu'on eu trouvé 0 ...

Posté par
GBZM
re : intégrale sur un chemin dans C 18-05-22 à 15:51

Bonjour,

On peut aussi appliquer Green-Riemann à la forme différentielle x(dx+idy), et on trouve que l'intégrale de de cette forme différentielle sur le bord du carré est égale à l'intégrale sur le carré de i\,dx\wedge dy, ce qui fait bien i.

Posté par
carpediem
re : intégrale sur un chemin dans C 18-05-22 à 17:08

merci



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