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Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 13:13

Je ne comprends pas tout , les réponses sont contradictoires?
Existe ou pas?^^

Posté par
jsvdbre : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 13:31

marco15 @ 29-10-2016 à 13:09

Je ne comprends pas  tout, mais je trouve le même résultat que noix de toto à la fin

Ça c'est ballot de pas comprendre et de trouver le même résultat.
Ce qu'on calcule de puis le début, n'est pas une intégrale mais une valeur propre de Cauchy.
C'est comme chercher à calculer \int_{-\infty}^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}} !!!
Impossible, mais vp~\int_{-\infty}^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}}, oui !

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 13:34

J'ignore ce qu'est une valeur propre de Cauchy ^^'

Posté par
jsvdbre : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 14:54

Pardon : valeur principale de Cauchy !
C'est un objet qui associe une valeur à certaines intégrales impropres afin de leur donner un sens.
L'une des plus célèbres est le logarithme intégral définie par Li(x) = \int_{0}^{x}{\dfrac{dt}{Ln(t)}} où, pour x > 1, Li(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\left(\int_{0}^{1-\varepsilon}{\dfrac{dt}{Ln(t)}} + \int_{1+\varepsilon}^{x}{\dfrac{dt}{Ln(t)}} \right).
On peut aussi citer la vp(1/x), mais là, il s'agit d'une distribution.

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 14:55

Hmmm
Je pense que nos profs n'ont pas voulu rentrer  la dedans ^^'

Posté par
jsvdbre : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 15:13

Ce qui est assez cocasse.

Puisqu'on ne va pas hésiter à dire :

1/ Montrer que \blue \int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{\cos(x)}{x^4-1}dx} n'existe pas

2/ Montrer que \blue \int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{\sin(x)}{x^4-1}dx} n'existe pas

Donc on conclut de 1/ et 2/ que \blue \int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{\cos(x)}{x^4-1}dx} - i\int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{\sin(x)}{x^4-1}dx} n'existe pas.

Mais on va quand même dire : "tiens, calculons quand même \blue \int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{e^{-ix}}{x^4-1}dx}" sans expliquer le tour de passe-passe.

C'est ce que j'appelle faire preuve d'une certaine malhonnête intellectuelle dans l'apprentissage des mathématiques.

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 16:55

Je suis assez d'accord
Pouvez-vous me dire si mon raisonnement pour trouver cette valeur principale de cauchy est satisfaisante?
^^
Je trouve un résultat proche de celui  de noix de toto... mais il a généralisé les solution pour t> 0 et moi j'ai t=-1 donc je ne suis pas certain du resultat

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 17:03

Un ami à moi a choisi ceci :

Je prends un rectangle centrée sur l'axe des abscisses de largeur b et de longueur L
Ce rectangle englobe seulement les singularités -1 et 1

l'intégrale désirée est donc la limite quand L tend vers l'infini et b tend vers 0 de l'intégrale du contour complexe
or l'intégrale du contour complexe est égale à 2i*pi * sommes des résidus
=2i*pi * e^i / 4 + 2*i*pi*e^-i/4 = i*pi*cos(i)...
Je pense que cette méthode est fausse car lorsque la largeur du rectangle tend vers 0 , les singularités vont finir par appartenir au contour et donc le théoremes des résidus ne s'applique plus... Qu'en pensez-vous?

Posté par
jsvdbre : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 17:05

Le mieux est que tu médites la-dessus à la section Quatrième type qui correspond à ton cas :
tu as une démo et un bel exemple.
Ça devrait faire ton bonheur !

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 17:11

Oui ça me satisfait beaucoup ce lien !
mais j'ai une question sur la formule proposée pour les Quatrieme types
dans le demi plan supérieur on a
intégrale= 2i*pi * residu complexe + i*pi*résidu réel

on est d'accord que dans le plan inférieur l'on a
intégrale = 2i*pi * résidu complexe - i*pi*résidu réel?

Posté par
marco15re : Intégration dans le plan complexe 29-10-16 à 17:13

Pardon, je me corrige seul
c'est
intégrale =- 2i*pi * résidu complexe + i*pi*résidu réel?

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