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Niveau autre
interversion série intégrale en complexe
Posté par letonio
Bonjour tout le monde,
Je peine à appliquer les théorèmes d'interversion série intégrale que je connais dans le cas des complexes. C'est à dire que j'ai du mal à appliquer le th de convergence dominée, où peut-être plus simplement l'interversion dans le cas d'un compact. Je m'explique, comment je montre ça:
=
Je sais que fn(z) est continue sur C(0,r)=C (le cercle de centre 0 et de rayon r). Si je sais que 
fn(z) converge uniformément. Vu que C est compact, est-ce que l'on peut utiliser le théorème qui dit que
Un continue sur [a,b]
Un converge uniformément sur [a,b]
=> =
Pourriez-vous m'indiquer comment on s'en tire?
Et si je veux utiliser le théorème de convergence dominée, pourriez-vous me montrer comment on vérifie les hypothèses à partir de ce que j'ai donné?
Bonjour, letonio
Tu peux utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues dans le cas que tu as décrit. C'est même le théorème qu"il faut utiliser parce que ses hypothèses sont rapides à vérifier.
Maintenant, si tu veux utiliser le théorème de convergence dominée, l'hypothèse de domination est facile à écrire: on peut majorer la suite de fonctions par la fonction constante
Arf peux-tu détailler un peu plus? Je ne parviens pas à écrire tout ça.
Peux-tu me montrer comment tu vérifies les hypothèses?
Ce que je veux dire c'est que j'ai essayé de me reporter au cas que je connais dans IR en faisant le changement de variable
z= re^(it)
=
soit
*pour tout n gn est continue sur [0,2pi]
* comment montrer que converge uniformément? Ca me semble assez direct vu que l'on a la convergence de la série
Ou alors est-ce qu'il est possible de vérifier les hypothèses sans passer par le changement de variable?
re(Bonjour), letonio
Pour pouvoir répondre efficacement, il faudrait me donner un exemple de suite de fonctions (f_n). Tu me demandes une rédaction précise, et c'est difficile de répondre précisément s'il faut raisonner avec des fonctions f_n, dont on ignore tout.
Ok voici la fontion fn(z)
fn(z)= (1/z+ 2+ z)^n . 1/z
pour tout r1<|z|<r2 où r1 et r2 sont les racines de l'équation 1-3r+r^2=0
J'ai déjà montré dans l'exercice que
converge absolument
En fait j'ai donc montré que
|(1/z+ 2+ z)|<1
Voilà. J'aimerais ici utiliser les deux théorèmes que j'ai cités plus haut.
Si j'ai bien compris ce que tu as écrit:
Le problème, c'est que cette série ne converge pour aucun réel strictement positif. Donc, il y a un problème ...
De plus, sur quel ensemble intègre-t-on ?
J'utilise les notations de ton post du 16 avril à 0h15.
converge (série géométrique, dont tu as sans doute démontré qu'elle était convergente).
Voilà pour la convergence normale de
Si on veut utiliser le théorème de convergence dominée, la seule hypothèse délicate à établir est l'hypothèse de domination:
Et on prend comme fonction majorante la fonction constante sur , égale à
, qui est intégrable sur ce segment.