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Je ne sais pas comment calculer cette somme

Posté par
SeriousJoker 23-09-17 à 17:50

l(-1)^k )(n-k)^2 =n(n+1)/2
Devrais-je utiliser un raisonnement par réccurence ou bien y a t il d autres méthodes à me conseiller (je trouve que le raisonnement par réccurence n est pas le meilleur moyen dans notre cas)
MERCI D AVANCE

Posté par
malou Webmasterre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 17:51

Je ne sais pas comment calculer cette somme

Posté par
louetcharlesre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 17:54

  Bonsoir ,

Que veut dire cette barre verticale devant (-1)^k ?

Posté par
SeriousJokerre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 17:56

Excusez moi la barre avant (-1)^k  n'est qu une faute de frappe et la somme est de k=0 jusqu'à n
Désolé

Posté par
Schtromphmolre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 20:34

Bonsoir,

En réécrivant la somme \sum_{k=0}^{n}{(-1)^{n-k}k^2} ça se fait assez bien par récurrence...

Posté par
Schtromphmolre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 20:37

Sinon si tu es vraiment allergique aux récurrences tu peux partir de la somme des carrés si tu la connais.

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 21:00

salut

S = \sum_{k = 0}^n (-1)^k(n - k)^2 = n^2 \sum_0^n (-1)^k - 2n \sum_0^n (-1)^k k + \sum_0^n (-1)^k k^2

\sum_0^n (-1)^k = 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n = 0 + a où a vaut 0 ou 1 suivant la parité de n

s = \sum_0^n (-1)^k k = 0 - 1 + 2 - 3 + ... + (-1)^n n = (-1)^n E(\dfrac n 2) + b (-1)^n n où b vaut 0 ou 1 suivant la parité de n

t = \sum_0^n (-1)^k k^2 = 0 - 1 + 4 - 9 + 16 - 25 + ... + (-1)^n n^2 = ??

Posté par
Schtromphmolre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 21:28

@carpediem

Inutilement compliqué comme méthode à mon avis, réindicer la somme semble moins laborieux.

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 23-09-17 à 21:39

bien sur .... ce n'était qu'une idée ...

Posté par
luzakre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 09:14

Bonjour !
Soit S_n=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^k(n-k)^2,\;T_n=(-1)^nS_n=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^{n-k}(n-k)^2=\sum_{1\leqslant p\leqslant n}(-1)^pp^2.

Alors T_{n+1}=T_n+(-1)^{n+1}(n+1)^2 donc S_{n+1}+S_n=(n+1)^2.

Puis S_{n+2}-S_n=(n+2)^2-(n+1)^2=2n+3.
Si u_n=S_{2n} il vient u_0=S_0=0,\;u_n-u_{n-1}=S_{2n}-S_{2n-2}=4n-1

Alors S_{2n}=u_n=u_0+4\dfrac{n(n+1)}2-n=2n^2+n et enfin S_{2n+1}=(2n+1)^2-S_{2n}=2n^2+3n+1

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 10:42

Posté par
Razesre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 12:10

Bonjour,

S_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n-k)^2=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-n}(n-k)^2=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}(n-k)^2=(-1)^n\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}p^2

Raisonnement par récurrence:
Initialisation:

n=0: S_0=0 \mbox{ et } \dfrac{n(n+1)}{2}=0; Donc P(0) est vraie
Supposons P(n) vraie alors S_n=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}k^2=\frac{n(n+1)}{2}

Hérédité:
Montrons que P(n+1) est vraie.

S_{n+1}=(-1)^{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}k^2=-\left ((-1)^{n}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}k^2\right )=-\left (S_n+(-1)^{n}(-1)^{n+1}(n+1)^2\right )=-\left (\frac{n(n+1)}{2}-(n+1)^2\right )= \\ \frac{1}{2}\left ( 2(n^2+2n+1)-n(n+1) \right )=\frac{1}{2}\left ( 2n^2+4n+2-n^2-n) \right )=\frac{1}{2}\left ( n^2+3n+2) \right )=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

Donc P(n+1) est vraie

Alors P(n) est vraie \forall n\in\mathbb{N}

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 13:30

oui la récurrence est classique ... et mécanique ...

Posté par
Razesre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 14:08

Bonjour,

@SeriousJoker,
Le titre de ton post est "Je ne sais pas comment calculer cette somme"

SeriousJoker @ 23-09-2017 à 17:50

Devrais-je utiliser un raisonnement par réccurence ou bien y a t il d autres méthodes à me conseiller (je trouve que le raisonnement par réccurence n est pas le meilleur moyen dans notre cas)

Il y a une très grande difference entre calculer cette somme et démontrer que cette propriété est vraie, c'est pourquoi il faut toujours écrire l'énoncé original et toute interprétation des mots peut fausser l'énoncé.

Démontrer que cette propriété est vraie
La récurrence est la meilleure méthode en plus de la méthode proposée par luzak et ...

Calculer cette somme
La méthode proposée par carpediem est classique mais c'est la meilleure et ça mérite d'ètre terminée (car je pense qu'il faut maitriser ses classique avant d'apprendre les astuces), je te propose une façon laborieuse (il y en a d'autres).


Méthode calcul en utilisant la dérivée:
S_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n-k)^2=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-n}(n-k)^2=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}(n-k)^2=(-1)^n\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}p^2

x\neq 1; n\in\mathbb{N}

On pose: f(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x};
f'(x)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\left (\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\right )'=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}

xf'(x)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k}=x\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}=\dfrac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}
\\ \left (xf'(x)\right )'=\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k-1}=\left (\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^2}\right )'=\\\frac{(n(n+2)x^{n+1}-(n+1)^{2}x^{n}+1)(1-x)+2(nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x)}{(1-x)^3}=\frac{-n^{2}x^{n+2}+(2n^{2}-1+2n)x^{n+1}-(n+1)^{2}x^{n}+x+1}{(1-x)^3}

Nous obtenons la relation:
\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k-1}=\frac{-n^{2}x^{n+2}+(2n^{2}-1+2n)x^{n+1}-(n+1)^{2}x^{n}+x+1}{(1-x)^3}

Prenons x=-1, alors

\sum_{k=1}^{n}k^2(-1)^{k-1}=\frac{-n^{2}(-1)^{n+2}+(2n^{2}-1+2n)(-1)^{n+1}-(n+1)^{2}(-1)^{n}+-1+1}{(1-(-1))^3}\Leftrightarrow \\ \\ -\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k^2=(-1)^{n}\frac{-n^{2}(-1)^{2}+(2n^{2}-1+2n)(-1)-(n+1)^{2}}{8}=(-1)^{n}\frac{-n^{2}-2n^{2}+1-2n-n^{2}-2n-1}{8}=(-1)^{n}\frac{-4n^{2}-4n}{8}

Donc:  \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k^2=(-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2}\Leftrightarrow (-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}k^2=\dfrac{n(n+1)}{2}

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 18:49

certes ... encore faut-il pouvoir calculer la somme t simplement ...

il y a aussi le classique que tu proposes

une variante : on dérive deux fois f

f(x) = \sum_0^n x^k = \dfrac {1 - x^{n + 1} } {1 - x}

f'(x) = \sum_0^n kx^{k - 1} = ...

f''(x) = \sum_0^n k(k - 1)x^{k - 2} \iff x^2f''(x) = \sum_0^n k^2x^k - \sum_0^n kx^k = ...

avec x = -1 on finit mon calcul ... (qu'il faudrait refaire plus rigoureusement  ...ce que je n'ai pas fait vraiment ....

merci  

Posté par
carpediemre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 24-09-17 à 18:57

et je me suis emmerdé comme un con à ne pas reconnaitre une triviale suite géométrique !!!!

\sum_0^n (-1)^k = \dfrac 1 2 (1 - (-1)^{n + 1})  !!

on y arrive donc !!!

Posté par
SeriousJokerre : Je ne sais pas comment calculer cette somme 25-09-17 à 14:33

Merciiiii touut le monde grâce à vous on apprend plusieurs méthodes ^^


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