salut

ben déjà il faudrait peut-être te fatiguer à nous dire ce que c'est ... pour que peut-être on essaie de t'aider ...

Bonsoir,
Bah ! un de ces pseudo-paradoxes qui apparaissent quand on mélange langage et méta-langage.

Voici un énoncé du paradoxe que j'ai trouvé que Bibmath et que je n'arrive pas à avaler :
"Le paradoxe de Richard est un paradoxe qui apparaît dans la théorie des ensembles lorsque celle-ci n'est pas assez formalisée. En voici l'énoncé. L'alphabet étant composé d'un nombre fini de lettres, l'ensemble des nombres réels qu'on peut définir avec un nombre fini de mots est un ensemble dénombrable. Par un argument du type de celui de la diagonale de Cantor, on peut construire un nombre réel hors de cette liste. Ce nombre réel, par définition, ne peut pas être défini avec un nombre fini de mots. C'est pourtant ce que l'on vient de faire!"

1) J'aimerais savoir pourquoi l'ensemble des nombres réels qu'on peut définir avec un nombre fini de mots est dénombrable.
2) Comment on peut construire à l'aide de la diagonale de Cantor un réel hors de cette liste?

salut

l'ensemble des nombres qu'on peut définir avec un nombre fini de mots (disons n) est l'union dénombrable des ensembles de nombres définis en un mot, en deux mots, en trois mots, ..., en n mots.

et chacun de ces ensembles est au plus dénombrable ....

remarquer que utiliser des mots ou des bits me semblent équivalents .... enfin faut voir ...

Bonsoir,
une définition est formée d'un nombre fini de mots, chacun d'eux comportant un nombre fini de lettres.

Franchement, les choses sont encore floues pour moi. Je ne vois pas l'algorithme de construction de cet ensemble des réels à partir d'un nombre fini de mots ( je vois plutôt un ensemble d'entiers ! )

Ce paradoxe est complètement stupide !

Si X est l'ensemble des réels que je peux définir avec un nombre fini de mots, alors à tout x de X, j'associe les mots avec lequel je le définis. Et X est au plus dénombrable. Il est donc clair qu'on peut trouver un réel qui ne soit pas dans X. Notons le G.

Eh bien G est défini comme un réel qui n'est pas dans X, c'est-à-dire que G est défini avec 8 mots (ici, la lettre X est considéré comme un mot), donc G est dans X, paradoxe ...

* ... avec lesquels je le définis.

Il y a belle lurette que Gödel a tordu le coup à ce genre de faux paradoxe.

De fait l'argument diagonal de Cantor est : tu as une liste dénombrable ( cad indexée par les entiers ) et tu construis, à partir de cette liste un objet qui n'est pas dans la liste.

La construction de cet objet nécessite la connaissance de la totalité de la liste.
C'est à dire d'un nombre infini de mots.

Tu n'aurais un petit coté intuitionniste, par hasard, verdurin
Du coup, à ce niveau là, ne connaissant pas X, cette liste n'a pas d'existence légale puisque non construite et par suite le paradoxe de Richard n'a pas d'existence légale non plus. C'est pô c**.

De toute façon, le paradoxe en lui-même a une existence paradoxale puisqu'il mêle deux niveaux de langage non équivalent et dont l'un est supposé préexister avant l'autre et lui donner naissance. Bref, c'est le peintre piétiné par son modèle de Jean HELION, c'est Hator la déesse à la fois mère, épouse et fille de Râ ...

De fait je suis plutôt platonicien

Mais les arguments diagonaux nécessitent la connaissance de la totalité de la liste.
le fait que je crois en son existence n'a rien à voir avec le fait que l'on puisse la définir avec un nombre fini de mots.
Je ne pense pas que le paradoxe soit lié à l'existence de deux niveaux de langage.

Dire x₁a₁ ;  x₂a₂ . . . ;  x_na_n . . .
nécessite une infinité de mots.

On parle de réels, mais je ne vois que des entiers !