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Lemme de Goursat choix des sous-triangles
Posté par SkyMtn
Bonsoir, il y a quelque chose qui me chiffonne dans la construction de la suite de triangles dans la démonstration du théorème de Goursat. Comment on choisit les sous-triangles ? On sait qu'il y en a au moins un pour lequel l'intégrale y est nulle, mais quand on choisit un tel triangle c'est assez arbitraire non ? À chaque étape on a un choix à faire et ça ne définit pas correctement la suite (le choix n'est pas unique à chaque étape de la construction de la suite).
On peut faire un choix en "si, sinon si, sinon si, sinon" mais cela oblige à ordonner les sommets du triangle à l'étape n, par exemple par arguments croissants par rapport à la demi droite [barycentre, barycentre+1) :/ Ainsi à chaque étape on a des sous-triangles biens définis et un choix du n+1ème terme de la suite par test successif de la nullité de l'intégrale sur le bord du triangle ?
C'est un petit point logique qui me gène, est-ce que le choix déterminé par tests successif peut convenir pour lever l'ambiguïté (et donc de "bien définir" la suites des triangles ?
Oups je dit n'importe quoi 
c'est pas l'intégrale sur un des sous triangle qui est nulle, mais plutôt le module de l'intégrale sur le bord d'un de ces sous-triangles qui est supérieur à un quart du module de celle sur le bord du triangle original...
A chaque étape tu divises un triangle en 4 sous triangles .Les centres (de gravité) de ces 4 triangles ont des affixes d e la forme x + iy ( x et y étant des réels ) .
Tu peux , par exemple , ranger ces 4 complexes à l'aide de l'ordre lexico - graphique L de 
² . C'est un ordre total .
Parmi ces 4 triangles il y en a au moins 1 qui vérifie une certaine propriété .
S'il y en a plus d'un tu n'auras qu'à prendre celui qui a le centre le plus petit ( pour l'ordre L )
On n'a ainsi pas besoin d'invoquer " l'axiome du choix " .