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les nombres complexe ! AIDE
bonjour a tous j'aurais besoin d'aide sur cette exercice je vous remerci d'avance de votre coup de pouce !
le plan complexe P est muni d'un repere orthonormal (O;vectU;vectV)
on appelera A et B les points d'affixe respectives -1 et 1
soit M un point d'affixe zm différent de 0
on appelle N le point d'affixe 1/zm
1) Démontrons que : AN=AM/OM
2) Dans toute la suite on suposse que le point M appartient au cerle de centre B et de rayon (racine2)
on supose zm=x+iy (x,y reels)
a) démontrer que x²+y²=2x+1
b) prouvez que module (zm+1)²=2 module(zm)²
en déduire la longueur AM en fonction de M
c) en utilisant la question 1 calculer la longueur AN
3) en utilisant le résultat de la question 2b) démontrer que
1-1(zm)=(1/(module zm)²)*(zm+1)
en déduire que les vecteurs NB et AM sont colinéaires
lorsque le point M n'est pas sur le droite (AB) indiquer la nature du quadrilatère ANBM
démontrer queles normes des vecteurs NB et AM sont égales si et seulement si (module zm)=1
préciser quelles sont alors les deux positions possible du point M
dans ces deux cas montrer que le quadrilatère ANBM est un carré
voila je vous remerci pour votre aide a bientot ^^
1)
O(0 ; 0)
A(-1 ; 0)
B(1 ; 0)
M(X ; Y)
zM = X + iY
1/ZM = 1 /(X+iY) = (X-iY)/(X²+Y²)
--> N(X/(X²+Y²) ; -Y/(X²+Y²)
AN² = (X/(X²+Y²) + 1)² + (Y/(X²+Y²))²
AN² = [(X+X²+Y²)/(X²+Y²)]² + (Y/(X²+Y²))²
AN² = [(X+X²+Y²)²+Y²]/(X²+Y²)²
AM² = (X+1)² + Y²
OM² = X² + Y²
AN² * OM² = [(X+X²+Y²)²+Y²]/(X²+Y²)² * (X²+Y²)
AN² * OM² = [(X+X²+Y²)²+Y²]/(X²+Y²)
AN² * OM² = (X²+X^4+Y^4+2X³+2XY²+2X²Y²+Y²)/(X²+Y²)
AN² * OM² = (X²+Y²+X^4+Y^4+2X²Y²+2X³+2XY²)/(X²+Y²)
AN² * OM² = [X²+Y²+(X²+Y²)²+2X(X²+Y²)]/(X²+Y²)
AN² * OM² = 1+(X²+Y²)+2X
AN² * OM² = X²+2X+1+Y²
AN² * OM² = (X+1)²+Y²
AN² * OM² = AM²
AN * OM = AM
AN=AM/OM
Il y a sans aucun doute plus simple.
-----
2)
a)
Cercle de centre B(1 ; 0) et de rayon = V2 (V pour racine carrée).
(x-1)²+y² = 2
x²-2x+1+y² = 2
x²+y² = 2x+1
Avec X l'abscisse de M, on a:
--> M(X ; V(-X²+2X+1)
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b)
|Zm+1|² = (X+1)² + (-X²+2X+1)
|Zm+1|² = X²+2X+1-X²+2X+1
|Zm+1|² = 4X+2 = 2(2X+1)
|Zm|² = X² - X²+2X+1
|Zm|² = 2X+1
|Zm+1|²=2.|Zm|²
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c)
AN = AM/OM = |Zm+1|/|Zm| = V2
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3)
...
Voir ausssi ici: 
complexe avec vecteurs.
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Sauf distraction. 
oui je pense qu'il y a une autre méthode pour faire la 1)
se ne serai pas avec le module
mais le probleme c'est que je ne sai pa sous quelle forme fractionnaire je met les coordonné donné dans l'enoncé
aidémoi
pour la 2a) vous ne vous etes pas trompé?
POURQUOI VOUS avez mis =2
pour la 2 b ) comment on fai pour déduire la longueur AM
je bloque pour démontrer que 1-(1/zm)=1/(module(zm)²)*(zm+1)
pouvez vous n'éclairé
s'il vous plai répondez moi
je sai que je suis pa seul mais sa fai un moment que j'attend
bonjour danna
Pour la 1) il y a en effet plus immédiat :
z' = 1/z => z'+1 = 1+1/z = (z+1)/z = (z-(-1))/(z-0) => z'-(-1) = (z-(-1))/(z-0) => AN = AM/OM
Philoux
pour 1-(1/z)=1/(module(z)²)*(z+1)
1-1/z = z-1/z = ( (x-1)+iy )/(x+iy) = ( (x-1)+iy )(x-iy)/(x²+y²) = ( x²-x+y² +iy )/|z|² = ( x²+y²-x +iy )/|z|²
comme x²+y²=2x+1
1-1/z = ( x²+y²-x +iy )/|z|² = ( 2x+1-x +iy )/|z|² = ( x+1+iy )/|z|²
1-1/z = (z+1)/|z|² = 1-z' = (z+1)/|z|²
z'-1 = (-1/|z|²)(z+1)
BN = (-1/|z|²)AM => BN et AM colinéaires car (-1/|z|²) est réel (négatif)
Philoux
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