Bonjour,

il ne faut pas s'intéresser à l'intérieur de ton ensemble, mais à l'ensemble lui-même. Le fait qu'il soit fermé, je te laisse le montrer. Pour montrer qu'il est ouvert, tu utilises l'analycité de f.

Je t'ai répondu n'importe quoi en fait. Tu cherches à montrer le principe des zéros isolés. Le mieux c'est de raisonner par contraposition. Tu te donnes une fonction analytique qui possède un zéro non isolé (ce qui revient à dire que tu as une suite de zéros de f qui converge en un point de ton ouvert U), et avec le développement en série entière, tu prouves que ta fonction est nécessairement nulle.

Oui je vois l'idée, en supposant non nulle, en notant un zéro non isolé et en notant l'indice du plus petit coefficient de non nulle, en écrivant avec et continue sur un voisinage de , j'obtiens que est un zéro isolé, ce qui constitue une contradiction; mais je ne vois pas où intervient la connexité...

Bonsoir,
Si U n'est pas connexe, une fonction analytique sur U pourrait être non identiquement nulle sur U mais identiquement nulle sur une composante connexe de U. Ça complique un peu les choses, n'est-ce pas ?

Rebonsoir, GBZM a tout dit, mais je dois avouer ma faute, je t'ai induit en erreur et j'en suis désolé. Comme ça, la preuve ne fait pas du tout intervenir à la connexité.

Ton raisonnement au départ était bien parti, seulement l'ensemble choisi n'était pas le bon. Il faudrait regarder l'ensemble E des points de U tels que la fonction est nulle sur un voisinage de ce point.

A ce moment là, toujours par contraposition et grâce à la suite de zéros qui converge en un point de U, tu montres que E est non vide, ouvert et fermé dans U (tu as déjà vérifié qu'il était non vide par ton raisonnement, je te laisse t'en convaincre).

Effectivement GBZM ça se complique. Je ne vois pas comment continuer avec cette démo

Rintaro C'est bien ce que je fais non? l'intérieur de l'ensemble des zéros de f, c'est l'ensemble des points z f tels que et tels qu'il existe un voisinage de z sur lequel f est nulle
En fait mon problème actuellement c'est est-ce que Z(f) est d'intérieur vide Tous les points de Z(f) sont isolés?
La première idée (montrer que l'intérieur de l'ensemble des zéros est ouvert-fermé dans U, ce que j'ai finalement réussi à montrer d'ailleurs) me vient d'une indication de l'exo, je pense donc qu'elle est senser fonctionner, mais je ne vois pas en quoi elle répond à la question posée

L'intérieur de l'ensemble des zéros de est un ouvert fermé de , Puisque est connexe et que n'est pas identiquement nulle sur , cet intérieur est vide. Donc, si est un zéro de , c'est un zéro isolé (tu as fait le raisonnement en considérant le DSE de en ).

GBZM je n'ai pas compris la fin (l'intérieur est vide donc les zéros sont isolés).

Il n'y a pas de au voisinage duquel est identiquement nulle. Tu raisonnes alors sur le DSE de en . Tu as déjà fait ce raisonnement !

Ok j'ai compris
Merci GBZM

Avec plaisir.