Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés

Posté par
BlackBird
09-04-22 à 16:31

Bonjour, je cherche à montrer que les des zéros d'une fonction analytique définie sur un ouvert U connexe et non nulle sont isolés.
Pour cela, j'essaie de montrer que l'intérieur  de l'ensemble des zéros de cette fonction est un ouvert-fermé de U. Il est évidemment ouvert dans U, mais je n'arrive pas à montrer qu'il est fermé dans U. Pouvez-vous m'aider?

Posté par
Rintaro
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 09-04-22 à 16:39

Bonjour,

il ne faut pas s'intéresser à l'intérieur de ton ensemble, mais à l'ensemble lui-même. Le fait qu'il soit fermé, je te laisse le montrer. Pour montrer qu'il est ouvert, tu utilises l'analycité de f.

Posté par
Rintaro
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 09-04-22 à 16:45

Je t'ai répondu n'importe quoi en fait. Tu cherches à montrer le principe des zéros isolés. Le mieux c'est de raisonner par contraposition. Tu te donnes une fonction analytique qui possède un zéro non isolé (ce qui revient à dire que tu as une suite de zéros de f qui converge en un point de ton ouvert U), et avec le développement en série entière, tu prouves que ta fonction est nécessairement nulle.

Posté par
BlackBird
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 09-04-22 à 18:45

Oui je vois l'idée, en supposant f non nulle, en notant z_{0} un zéro non isolé et en notant N l'indice du plus petit coefficient de f non nulle, en écrivant f(z)=(z-z_{0})^N g(z) avec g(z_{0})\neq 0 et g continue sur un voisinage de z_{0}, j'obtiens que z_{0} est un zéro isolé, ce qui constitue une contradiction; mais je ne vois pas où intervient la connexité...

Posté par
GBZM
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 09-04-22 à 22:39

Bonsoir,
Si U n'est pas connexe, une fonction analytique sur U pourrait être non identiquement nulle sur U mais identiquement nulle sur une composante connexe de U. Ça complique un peu les choses, n'est-ce pas ?

Posté par
Rintaro
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 09-04-22 à 23:18

Rebonsoir, GBZM a tout dit, mais je dois avouer ma faute, je t'ai induit en erreur et j'en suis désolé. Comme ça, la preuve ne fait pas du tout intervenir à la connexité.

Ton raisonnement au départ était bien parti, seulement l'ensemble choisi n'était pas le bon. Il faudrait regarder l'ensemble E des points de U tels que la fonction est nulle sur un voisinage de ce point.

A ce moment là, toujours par contraposition et grâce à la suite de zéros qui converge en un point de U, tu montres que E est non vide, ouvert et fermé dans U (tu as déjà vérifié qu'il était non vide par ton raisonnement, je te laisse t'en convaincre).

Posté par
BlackBird
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 01:59

Effectivement GBZM ça se complique. Je ne vois pas comment continuer avec cette démo

Rintaro C'est bien ce que je fais non? l'intérieur de l'ensemble des zéros de f, c'est l'ensemble des points z f tels que f(z)=0 et tels qu'il existe un voisinage de z sur lequel f est nulle
En fait mon problème actuellement c'est est-ce que Z(f) est d'intérieur vide \Longleftrightarrow Tous les points de Z(f) sont isolés?
La première idée (montrer que l'intérieur de l'ensemble des zéros est ouvert-fermé dans U, ce que j'ai finalement réussi à montrer d'ailleurs) me vient d'une indication de l'exo, je pense donc qu'elle est senser fonctionner, mais je ne vois pas en quoi elle répond à la question posée

Posté par
GBZM
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 08:24

L'intérieur de l'ensemble des zéros de f est un ouvert fermé de U, Puisque U est connexe et que f n'est pas identiquement nulle sur U, cet intérieur est vide. Donc, si z_0 est un zéro de f, c'est un zéro isolé (tu as fait le raisonnement en considérant le DSE de f en z_0).

Posté par
BlackBird
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 13:46

GBZM je n'ai pas compris la fin (l'intérieur est vide donc les zéros sont isolés).

Posté par
GBZM
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 14:47

Il n'y a pas de z_0\in U au voisinage duquel f est identiquement nulle. Tu raisonnes alors sur le DSE de f en z_0. Tu as déjà fait ce raisonnement !

Posté par
BlackBird
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 14:56

Ok j'ai compris
Merci GBZM

Posté par
GBZM
re : Les zéros d'une fonction analytique non nulle sont isolés 10-04-22 à 23:09

Avec plaisir.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !