Rebonsoir, GBZM a tout dit, mais je dois avouer ma faute, je t'ai induit en erreur et j'en suis désolé. Comme ça, la preuve ne fait pas du tout intervenir à la connexité.
Ton raisonnement au départ était bien parti, seulement l'ensemble choisi n'était pas le bon. Il faudrait regarder l'ensemble E des points de U tels que la fonction est nulle sur un voisinage de ce point.
A ce moment là, toujours par contraposition et grâce à la suite de zéros qui converge en un point de U, tu montres que E est non vide, ouvert et fermé dans U (tu as déjà vérifié qu'il était non vide par ton raisonnement, je te laisse t'en convaincre).