Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Limite de sin(x)/x

Posté par
iFeaRz72
15-01-18 à 13:49

Bonjour,

Voilà j'aimerai connaître une démonstration de : \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x} = 1

Merci d'avance

Posté par
pgeod
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 13:59

Autant que je me rappelle, il existe une démo avec le
taux d'accroissement de la fonction sin en 0
=  nombre dérivé de la fonction sin en 0
= sin'(0)
= cos(0)
= 1

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 14:59

Je te remercie

Posté par
Sylvieg
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 15:03

Bonjour,
Il y a un lien avec le nombre dérivé ; mais c'est un peu l'histoire de la poule et des œufs :
Pour démontrer le nombre dérivé de la fonction sinus en  0 , on utilise cette limite.
Il existe une démonstration qui repose sur des considérations géométriques dans le cercle trigonométrique.
Je vais voir si je la retrouve sur Internet.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 15:04

Bonjour,
j'aime bien aussi la démonstration géométrique :
Limite de sin(x)/x
l'aire du triangle OHM < l'aire du secteur OIM < l'aire du triangle OIK
cos x * sin x / 2 < x /2 < tan x / 2
d'une part sin x / x < 1/cos x
et d'autre part x < sin x / cos x sin x / x > cos x

et donc bilan : cos x < sin x / x < 1/ cos x
et quand on fait tendre x vers 0, les deux gendarmes tendent vers 1

Posté par
Sylvieg
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 15:08

Je l'ai retrouvée :  

Posté par
Sylvieg
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 15:09

Bonjour Glapion,
Oui, je l'aime bien  

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 16:37

C'est vrai la démonstration géométrique est très parlante.
Mais je ne comprends pas le calcul des aires des triangles OHM, OIM et OIK.


Il est évident que : AireOHM < AireOIM < AireOIK

Mais que vaut OH ? HM ? IK ?
Car pour moi :
OH = cos(x)
HM = sin(x)
IK = x

Merci pour vos réponses

Posté par
Sylvieg
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 16:45

OH et HM : oui
Pourquoi  IK  serait égal à  x  ?  L'arc d'extrémités  I  et  M  a pour longueur  x .

Avec Thales :    OI / OH  =  IK / MH
1 / cos(x)  =  IK / sin(x)  ;    donc  IK  =  sin(x) / cos(x) .  On retrouve  tan(x)  sur la tangente au cercle.

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 15-01-18 à 23:38

Mais AOIM = (OI*MH)/2 = sin(x)/2 \neq  x/2 ??

Posté par
Razes
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 00:46

Bonsoir,

Une information importante a été omise, est que le cercle est de rayon=1.

limite sinx/x

Posté par
Sylvieg
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 08:09

Citation :
Il existe une démonstration qui repose sur des considérations géométriques dans le cercle trigonométrique.
      

L'autre topic aborde toutes les interrogations que peut provoquer ce sujet  
On y retrouve l'œuf et la poule.
Pour la justification de l'aire proportionnelle à la mesure de l'angle, je me souviens d'avoir soulevé la question lors de séances à la fac censées aborder des problèmes didactiques. On m'avait regardé comme une débile mentale...

@iFeaRz72,
Avais-tu conscience de tout ce qui se cache derrière cette simple limite ?
Pour moi, elle justifie l'utilisation du compliqué radian comme unité de mesure d'angle.

Posté par
Razes
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 12:59

Bonjour,

@Sylvieg, effectivement l'autre topic était intéressant avec des débats très instructifs.

Autre façons de faire; étudier les fonctions f(x)=\tan x-x et g(x)=\sin x-x, par exemple pour x\geqslant 0 comparer f(x) et f(0) puis g(x) et g(0) ...

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 15:20

Mais je ne comprends toujours pas pourquoi AOIM = x/2

Posté par
Razes
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 16:43

Règle de trois:

Angle \rightarrow Surface
 \\ 2\pi \rightarrow \pi R^{2}=\pi 
 \\ x\rightarrow A_{OIM}

Donc: A_{OIM}=\dfrac{x\times \pi }{2\pi}=\dfrac{x}{2}

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 17:08

Oh merci beaucoup Razes

En faite je n'avais pas fait attention à ce qu'avait marqué Glapion. C'est l'aire du SECTEUR OIM et non pas l´aire du triangle OIM.

Merci beaucoup tout le monde, c'est tellement plaisant que des gens prennent du temps pour nous aider

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 17:18

remarque que l'aire du triangle OIM c'est intéressant aussi, elle vaut sin x / 2
donc si on écrit : l'aire du triangle OHM < l'aire du triangle OIK < l'aire du secteur OIM
ça donne :
cos x * sin x / 2 < sin x / 2 < x /2 et donc que sin x / x < 1
on est ramené à cos x < sin x / x < 1 et ça marche aussi

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 18:50

Glapion comment tu passes de :
cos x * sin x / 2 < sin x / 2 < x /2

à : cos x < sin (x) / x   ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 18:58

non, on ne passe pas de l'un à l'autre. la seule nouveauté ici c'est sin x / x < 1 au lieu de sin x / x < 1/ cos x

cos x < sin (x) / x ça vient de x < sin x / cos x donc de l'aire du triangle OIK

Posté par
iFeaRz72
re : Limite de sin(x)/x 16-01-18 à 23:17

Merci bien

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1372 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !