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Niveau terminale
Limite de sin(x)/x
Posté par iFeaRz72
Bonjour,
Voilà j'aimerai connaître une démonstration de :
Merci d'avance 
Autant que je me rappelle, il existe une démo avec le
taux d'accroissement de la fonction sin en 0
= nombre dérivé de la fonction sin en 0
= sin'(0)
= cos(0)
= 1
Bonjour,
Il y a un lien avec le nombre dérivé ; mais c'est un peu l'histoire de la poule et des œufs :
Pour démontrer le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 , on utilise cette limite.
Il existe une démonstration qui repose sur des considérations géométriques dans le cercle trigonométrique.
Je vais voir si je la retrouve sur Internet.
Bonjour,
j'aime bien aussi la démonstration géométrique :
l'aire du triangle OHM < l'aire du secteur OIM < l'aire du triangle OIK
cos x * sin x / 2 < x /2 < tan x / 2
d'une part sin x / x < 1/cos x
et d'autre part x < sin x / cos x 
sin x / x > cos x
et donc bilan : cos x < sin x / x < 1/ cos x
et quand on fait tendre x vers 0, les deux gendarmes tendent vers 1
C'est vrai la démonstration géométrique est très parlante.
Mais je ne comprends pas le calcul des aires des triangles OHM, OIM et OIK.
Il est évident que : AireOHM < AireOIM < AireOIK
Mais que vaut OH ? HM ? IK ? 
Car pour moi :
OH = cos(x)
HM = sin(x)
IK = x
Merci pour vos réponses 
OH et HM : oui
Pourquoi IK serait égal à x ? L'arc d'extrémités I et M a pour longueur x .
Avec Thales : OI / OH = IK / MH
1 / cos(x) = IK / sin(x) ; donc IK = sin(x) / cos(x) . On retrouve tan(x) sur la tangente au cercle.
Bonsoir,
Une information importante a été omise, est que le cercle est de rayon=1.
limite sinx/x
Citation :
Il existe une démonstration qui repose sur des considérations géométriques dans le cercle trigonométrique.
Il existe une démonstration qui repose sur des considérations géométriques dans le cercle trigonométrique.
L'autre topic aborde toutes les interrogations que peut provoquer ce sujet
On y retrouve l'œuf et la poule.
Pour la justification de l'aire proportionnelle à la mesure de l'angle, je me souviens d'avoir soulevé la question lors de séances à la fac censées aborder des problèmes didactiques. On m'avait regardé comme une débile mentale...
@iFeaRz72,
Avais-tu conscience de tout ce qui se cache derrière cette simple limite ?
Pour moi, elle justifie l'utilisation du compliqué radian comme unité de mesure d'angle.
Bonjour,
@Sylvieg, effectivement l'autre topic était intéressant avec des débats très instructifs.
Autre façons de faire; étudier les fonctions et
, par exemple pour
comparer
et
puis
et
...
Oh merci beaucoup Razes
En faite je n'avais pas fait attention à ce qu'avait marqué Glapion. C'est l'aire du SECTEUR OIM et non pas l´aire du triangle OIM.
Merci beaucoup tout le monde, c'est tellement plaisant que des gens prennent du temps pour nous aider 
remarque que l'aire du triangle OIM c'est intéressant aussi, elle vaut sin x / 2
donc si on écrit : l'aire du triangle OHM < l'aire du triangle OIK < l'aire du secteur OIM
ça donne :
cos x * sin x / 2 < sin x / 2 < x /2 et donc que sin x / x < 1
on est ramené à cos x < sin x / x < 1 et ça marche aussi
non, on ne passe pas de l'un à l'autre. la seule nouveauté ici c'est sin x / x < 1 au lieu de sin x / x < 1/ cos x
cos x < sin (x) / x ça vient de x < sin x / cos x donc de l'aire du triangle OIK