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Niveau Maths sup
logique
Posté par cfg977
Bonsoir !
Je voudrais de l'aide pour résoudre l'exercice suivant
Deux joueurs s'affrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100
allumettes sur la table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui retire la dernière allumette gagne.
1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie.
2. Généraliser à un nombre n quelconque d'allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1 à k allumettes
à chaque tour ((k, n) ∈ (N∗)2).
Pour la première question, j'ai noté A et B respectivement le premier et deuxième joueur. Pour A gagne, il faut que lors de la dernière partie il y ait 1 à 7 allumettes, .i.e lors de l'avant dernière partie il y ait exactement 8 allumettes. Je ne sais pas comment remonter jusqu'à la première partie pour trouver la stratégie gagnante.
J'ai l'impression qu'on peut montrer par récurrence :
Si est congru à 0 modulo 8, alors le joueur 2 a une stratégie gagnante.
Salut
pour que le premier joueur gagne, il faut qu'il joue lorsqu'il reste 7 allumettes
L'idée est qu'il est possible de contrôler que la somme de deux coups consécutifs (deuxième joueur + premier joueur) vaille exactement 8 allumettes, en retirant chaque fois le "complémentaire" de ce que le deuxième joueur a retiré au dernier coup
c'est le même principe que le jeu des batonnets sur Fort Boyard, sauf que les participants peuvent retirer 1, 2 ou 3 batonnet
Bonjour cfg977.
Tu l'a bien compris : il doit rester 8 allumettes au dernier tour de ton adversaire pour que tu gagnes car dans ce cas, une fois qu'il a joué, tu retires le complément à 8.
Alors imagine qu'au tour d'avant, ton adversaire soit devant 16 allumettes et que deux tours avant il soit devant 24 ... 32 ... 40 ... 48 ... 56 ... ... ... ... 96 : combien retires-tu d'allumettes si tu joues en premier ?
Plus généralement, si tu sais calculer un reste de n par k+1 alors tu gagnes à tous les coups si primo tu joues en premier et secundo ce reste n'est pas nul.
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Si tu joues en second et que ton adversaire ne connait pas le truc, alors tu des chances de rattraper le coup tant que tu n'es pas sur un reste nul. Tu fais comment en fonction du premier coup de ton adversaire ?