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Logique et ensemble
Posté par IamMe
Bonjour, je bloque à un exercice :
Soient A et B deux parties d'un ensemble E.
1.On suppose dans cette question que A⊂B. Donner A∩B et A∪B. Que se passe-t-il si A= 
?
2.
Montrer que
(a)
A∪B= ⇔(A= et B=).
(b) (A= ou B=)⇒A∩B=.
L'implication réciproque réciproque est-elle vraie ?
(c) (A=E ou B=E)⇒ A∪B= E.
L'implication réciproque réciproque est-elle vraie ?
1.A∩B = A et A∪B = B. Si A = c'est pareil.
2.
a). Et c'est là que j'ai du mal. J'ai essayé de faire en remplaçant avec des propositions.
P : (A∪B=) et Q : (A= et B=). Et donc il faut que je prouve P 
Q ...
Bonjour, raisonnement par contraposé, simplement dire que si AUB n'était pas vide, il contiendrait des éléments qui seraient soit dans A soit dans B soit dans les deux et donc que A ou B ne serait pas vide.
Oui je sais, merci. Mais j'aimerais comprendre comment à partir de l'équivalence qu'on me demande de prouver, je passe par l'utilisation de la contraposée...
C'est le principe du raisonnement par contraposée, les deux propositions
P 
Q et (non Q) (non P) sont équivalentes.
Bon je vais essayer d'un peu mieux expliquer ce que je ne comprends pas.
Je ne comprends pas pourquoi pour la a), qui est une équivalence, j'utilise la contraposée. La contraposée c'est lors d'une implication. Mais là je ne vois pas d'implication...
Pour la b) on peut utiliser la contraposée. Mais en quoi faire la contraposée me permet de dire si l'implication réciproque est vraie ou fausse ?
A∪B= (A= et B=) est démontré par contraposé (donc A ou B non vide A∪B non vide)
et la réciproque (A= et B=) A∪B= est démontré directement.
Si non Q non P est vraie alors Q P ne peut pas être vraie c'est ça ? C'est "comme" P et non P. Si P est vraie alors non P est fausse ?